线性代数 1.4初等变换.ppt

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1、第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵§1.4初等变换与初等矩阵一.消元法解线性方程组公元前1世纪,《九章算术》初等变换,相当于高斯消元法线性方程组的一般形式什么是初等变换?用矩阵形式表示此线性方程组：令则，线性方程组可表示为如何解线性方程组？可以用消元法求解。始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2第一章矩阵§1.4

2、初等变换与初等矩阵2x13x2+4x3=4x1+2x2x3=32x1+2x26x3=2x1+2x2x3=32x13x2+4x3=4x1+x23x3=1x1+2x2x3=3x2+2x3=2x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=20=01/21234412132262轻装上阵1213234411311/21213012201222(1)1213012200001第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵x1+2x2x3=3x2+2x

3、3=20=0(2)121301220000x15x3=1x2+2x3=20=0(2)105101220000x1=5c+1x2=2c2x3=c其中c为任意实数.100001220000(2)2105101220000(1)5100001000000Gauss-Jordanreduction2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．1.上述解方程组的方法称为消元法．3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变

4、换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵1.初等行变换(elementaryrowoperations)初等列变换(elementarycolumnoperations)(1)对换变换:rirj,(2)倍乘变换:rik,（k非零）(3)倍加变换:ri+krj.(1)对换变换:cicj,(2)倍乘变换:cik,(3)倍加变换:ci+kcj.矩阵的初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换îíì初等列变换(elementaryrow

5、operations)初等行变换(elementaryrowoperations)等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价(equivalent)．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义2：(1)反身性(reflexivity)AA,(2)对称性(symmetry)ABBA,(3)传递性(transitivity)AB,BCAC.第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵三.行阶梯形矩阵与行最形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.11004010220002300004112040132200023000

6、00,行阶梯形(rowechelonform)注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵则称A为行最简形(reducedrowechelonform).如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,10201013020001000000注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初

7、等行变换化为行最简形矩阵.例如注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵3.若mn矩阵A经过有限次初等变换化为ErOr(nr)O(mr)rO(mr)(nr)的形式,为A的(等价)标准形则称注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形.(canonicalform).例如，特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.例1：将下列矩阵化

8、为等价标准型解：第一行乘以，第二行乘以加到第三行第一列乘以加到第二列，乘以加到第三列，乘以加到第四列。第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵二.初等矩阵