2020版新教材高中数学第三章函数3.1.3.1函数的奇偶性课件新人教B版必修1.pptx

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1、3.1.3函数的奇偶性第1课时　函数的奇偶性1.函数的奇偶性前提函数f(x)定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，条件且f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)结论则称y=f(x)为偶函数则称y=f(x)为奇函数【思考】函数的奇偶性定义中，“对于定义域D内任意一个x，都有-x∈D”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.2.奇偶函数的图像特征(1)函数是偶函数⇔图像关于y轴对称；(2)函数是奇函数⇔图像关于原点对称.【思考】(1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？提示：图像过原点，即f(0)=0.(2)有没有一个函数

2、既是奇函数，又是偶函数？提示：有.如f(x)=0的图像为x轴，即关于y轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点.()(2)如果定义域内存在x0，满足f(-x0)=f(x0)，函数f(x)是偶函数.()(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)+f(-x)=0，则函数f(x)是奇函数.()提示：(1)×.不一定，如函数f(x)=.(2)×.不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立.(3)√.若f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x).2.下列图像表示的

3、函数具有奇偶性的是()【解析】选B.B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数，且f(2)=3，则f(-2)=________.【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-2)=-f(2)=-3.答案：-3类型一　函数奇偶性的判断【典例】1.函数f(x)=-2x的图像关于()A.y轴对称B.坐标原点对称C.直线y=-x对称D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性：世纪金榜导学号(1)f(x)=

4、2x-1

5、-

6、2x+1

7、.(2)f(x)=【思维·引】1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性.2.根据函数奇偶性的定

8、义判断.【解析】1.选B.函数的定义域A={x

9、x≠0}，所以x∈A时，-x∈A，且f(-x)=-+2x=-=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称.2.(1)因为x∈R，f(-x)=

10、-2x-1

11、-

12、-2x+1

13、=-(

14、2x-1

15、-

16、2x+1

17、)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)方法一：作出函数图像如图：关于原点对称，所以函数是奇函数.方法二：当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)；当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，f(-x)=1-(-x)2=1-

18、x2，所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(-0)=-f(0)=0.综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为R上的奇函数.【内化·悟】函数具有奇偶性的前提是什么？提示：定义域关于原点对称.【类题·通】判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图像法：【发散·拓】如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的定义域，那么f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(g(x)≠0)有以下规律：偶±偶=偶、奇±奇=奇、偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶，相除时类似于相乘的情况.【延伸·练】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A

19、.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)

20、f(-x)

21、是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.当x∈R时，-x∈R，A中，设g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)·f(x)=g(x)，为偶函数；B中，设g(x)=f(x)

22、f(-x)

23、，则g(-x)=f(-x)·

24、f(x)

25、非奇非偶函数；C中，设g(x)=f(x)-f(-x)，则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)，为奇函数；D中，设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数.

26、【习练·破】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=x3+x.(3)f(x)=【解析】(1)f(x)=的定义域是A=(-∞，1)∪(1，+∞)，-1∈A，但1∉A，所以f(x)为非奇非偶函数.(2)f(x)=x3+x的定义域是R，当x∈R时，-x∈R，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)函数的定义域为R，当x∈R时，-x∈R，当x>0时，-x<0，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)；当x=0时，f(-x)=f(x)=1；当x<0时，-x>0，f(-x)=-x+1=f(x).综上，对任意x∈R，都有f(-x)=f(x)，

27、所以f(x)为偶函数.【