数学文化结课论文.doc

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1、韩信点兵之余数定理（孙子算经余数问题）专业：11统计姓名:王祖勇授课老师：唐琳目录韩信简介2韩信点兵故事2韩信点兵之余数定理求解内容3余数定理的意义8韩信简介：韩信（约公元前231年一公元前196年），汉族，淮阴（今江苏淮安）人，西汉开国功臣，屮国历史上杰出的军事家，与萧何、张良并列为汉初三杰。曾先后为齐王、楚王，后贬为淮阴侯。为汉朝的天下立下赫赫战功，但后来遭到汉高祖刘邦的疑忌，最后以谋反罪处死。《史记•淮阴侯列传》专门记录韩信的生平。韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被萧何誉为“国士无双”，刘邦评价曰：“战必胜，攻必取，吾不如韩信。”韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被后人奉为

2、“兵仙”、“战神”。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为统帅,他率军出陈仓、定三秦、擒魏、破代、灭赵、降燕、伐齐，直至垓下全歼楚军，无一败绩，天下莫敢与之相争；作为军事理论家，他与张良整兵书，并著有兵法三篇。韩信不但是杰出的军事家，也是一个中国古典数学的的佼佼者，历史上就有韩信点兵的故事。韩信点兵故事：汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦…眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大

3、才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成i排。”队站好后，小队长进來报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后i排只有三人。”刘邦再传令：“毎七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信

4、说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经屮载有此题之算法。韩信点兵之余数定理求解内容：韩信点兵时先让5人一排记最后一排的人数为1人；再让6人一排记最后一排人数为5人；7人一排最后一排为4人；11人一排最后一排10人。现在让我们求到底有多少兵？其实早在孙子算经中就有这种题目，这就是著名的中国余数定理。余数定理的解决办法推动了数学的大发展，具体我们可利用三种方法解决这个问题。下面我们用具体的题目来讲解这三种方法。题目：有一个数，除以3余数是2；除以5余数是3；除以7余数是2,请问这个数是多少？筛选法由题可以得到这样的三排数25811141720232629（用3除余2）8

5、23（用5除余3）23（用7除余2）由此我们可以得到23是最小的解，其他的解我们可以用类似的方法求的。公倍数法建立一个方程组乂=+2北=5池2十3（*）x=7池3+2现在我们来解这个方程组中的x,从第三个等式入手，两边加5（或者减去2）得兀+5=7m+1）（或者兀一2=7仏）这样，右边就是7的倍数了；但这并不能是3和5的倍数，那么继续对第三式子处理，我们加上7L（或者减去7H）则兀+5+7/=7帥3+1+/）（或x-2-1h=7（〃3—力））见L等于1,2,3,……（或者H=l,2,3,……）代入计算分析我们就可以发现都加上82都可以使得三个等式相等（或者最小减去23也可以）这样我们就可以

6、求的L=lbH=3o等式两边加82来求解，有jc+X2=3（/11+28）乂+82=5（屁+17）x+82=7（比3+12）即有x+82二R・[3,5,7]=R・105x=105£—82,k=1,2,3,等式两边减去23来求解，有兀一23=3Q^—7）兀—23=50^—4）乂―23=5（仏一3）即有x—23=Q・[3,5,7]=105故x=105£'+23,卍=0,1,2,3,多了一个“K=0”，因为这是X也是正整数，符合耍求。以上两组解其实是一样的，因为82+23=105,故k=E,这样就可以转化两个解。但是对于82和23是不容易找到的，所以这种算法没有普遍性，没有一般性，下面我们做根本

7、的修改。利用单因子构件凑成法解决这种问题。单因子构件凑成法以上方法都不具有普片性，现在我们对（*）做两个方面的简化，一方面是每次我们只考虑“一个除式”有余数的情况（即另外两个式子都是整除的）；另一方面是对于有余数的除式，把余数都简化为最简单的1.这样就得到三组方程：兀=3“]+l-V=3rz)z=(!)乂=5^2；(2):y=5池2+1；⑶z=5〃2乂=7n3y=r仇?z=7池彳+i⑴意味着，在5和7的公倍数(35,70