小波变换基础以及haar小波.ppt

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1、图像处理与识别小波变换及应用小波发展Haar小波小波去噪展望小波发展小波分析（WaveletsAnalysis）是20世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域.小波分析是对傅立叶分析（FourierAnalysis）理论最辉煌的继承、总结和重大突破.小波与傅里叶的区别傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析.小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造小波基，由

2、于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析.傅里叶变换这幅图可形象的表示傅里叶变换的不足之处。如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出

3、现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。短时傅里叶变换（STFT）如果我们还想知道各个成分出现的时间？一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。那么问题又来了？我们选择多大的窗口合适呢？窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。短时傅立叶变换(STFT

4、)的核心就是加窗，然后滑动求得联合时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时—频窗口就固定不变，与频率无关.STFT是一种单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t).我们不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(要小)，信号变化平缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小).STFT不能同时兼顾两者.小波分析是时间和频率的局域变换，采用多分辨率分析的思想，非均匀地划分时频空间.通过伸缩和平移对信号进行多尺度细化，可以在不同尺度上来观察信号.对低频部分采取较

5、高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率.逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t)可以用三角函数表示—傅里叶变换.Fourier_series_and_transform(1).gif小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t)也可以用小波函数表示—小波变换.小波变换如果e1(t),e2(t),e3(t),……,en(t)构成一组完备正交基,则任何信号f(t)可以表示成

6、：为什么叫小波？？？小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集中在某一点附近.即小波是一种能量在时域非常集中的波.小波对于分析瞬时时变信号非常有用.它有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量τ。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量τ就对应于时间。某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积分也就是计算信号与基函数的相似程

7、度。则称φ(t)为一个小波母函数.设函数，若其FT满足条件:CWT（连续小波变换）φ(t)∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性.φ(t)∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.φ(t)满足意味着小波函数具有波动性.将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a，b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).称φa,b(t)为连续小波.式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.为什么系数有个？？？为了保证在不同尺度a时，的能量相同。φ(t)是母小波，φa,b(t)是由φ(t)作伸缩和平移得到的连续小波，

8、对任意信号f(t)∈L2(R)，有连续小波变换：连续小波反变换：其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.连续小波变换的性质⑴线性⑵平移