数学是打开科学大门的钥匙；数学是科学的语言；数学是思维.ppt

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1、数学是打开科学大门的钥匙;数学是科学的语言;数学是思维的工具;数学是理性的艺术;数学是一种理性精神.第15讲剩余类环Zn问题：下面,我们利用整数环模极大理想来回答上述问题.问:对任一素数p,♥2.4剩余类环Zn有限域的特征是一个素数.给出了非常有用的2元域F2.如果有,怎么构造?有特征为p的有限域吗?♥2.4剩余类环ZnnZ={nk:k∈Z}◁Z.商环Z/nZ={[0],[1],[2],…,[n1]}其中[k]=k+nZ.每个理想都是主理想的环称为主理想环.启示:N的极小生成集只能有一个数.♥2.4剩余类环Zn即N是主理想,其生成元必然是a=qd,b=h

2、d,q,h∈Z.设N是Z的非零理想,考察N的生成集.(一)Z的理想a,b∈N,联系a和b的是它们的最大公因数d=ua+vb,u,v∈Z.而a和b可由d生成:由理想的吸收性得d∈N,Ｎ中绝对值最小的数,设为n,则N=(n)=nZ={qn:q∈Z}结论定理1整数环是主理想环♥2.4剩余类环Zn命题1分析a=qn+r,0r

3、想。n是素数.是Z的极大理想主理想(n)定理2三Z的极大理想若有(n)(m)Z,则m

4、n,充分性设n是素数,m=1,-1,n或-n,(m)=Z或(n),所以,(n)是极大理想.必要性设(n)是极大理想.m

5、n,则(n)(m)Z,m=1,-1,或n,-n,(m)=Z或(n),Zn=Z(n)是域推论n是素数.♥2.4剩余类环Zn由于前面的推理告知了如何构造素数个元的有限域.第三章将介绍如何构造pk(p素数)个元的有限域.例1证明x3+13x+121在Z[x]中不可约.证明对系数取模2得x3+x+1,作为域Z2上的多项式,在Z2={[0],

6、[1]}中没有根,因而在Z2[x]中不可约.所以,在Z[x]中不可约.命题2设p是素数,从Z[x]到Zp[x]有环同态证明是Z到Zp的自然同态,直接验证即得.根据命题2,f(x)在Z[x]中可约,则(f(x))在Zp[x]必然可约.下面看一看Zp的妙用.根据是证明命题[k]∈Zn关于乘法可逆当且仅当k与n互素.(k,n)=1定义环R中的元素a称为可逆的,如果有b∈R使得ab=ba=1.有s,t∈Z使得sk+tn=1[s][k]=[sk]=[1][k]可逆♥2.4剩余类环Zn设n=是n的素因子分解,则.推论Zn中所有可逆元组成乘法群.它的阶是设[a]

7、,[b]∈Zn,若[a]=[b],则称a与b模n同余,记为♥2.4剩余类环Zn1,2,…,n中所有与n互素的元的个数(n),称为欧拉函数.a≡b(modn).推论设p是素数,且p∤a,则ap1≡1(modp).欧拉-费尔马定理若(a,n)=1,则a(n),≡1(modn).(5)全部理想；写出剩余类加群Z15的♥2.4剩余类环Zn(2)全部生成元;例1Z15是域吗？说明理由。(6)全部可逆元；(4)每个元素的负元；(3)全部全部子加群；(1)全部元素；(7)全部零因子；{[0],[1],…,[14]}{[1],[2],[4],[7],[8],[11]

8、,[13],[14]}[0],[1]=Z15,[5]={[0],[5],[10]}=[10],[3]={[0],[3],[6],[9],[12]}=[6]=[9]=[12].[1]=[14],[2]=[13],[3]=[12],[4]=[11],[5]=[10],[6]=[9],[7]=[8].([0]),([1])=Z15,([5])={[0],[5],[10]}=([10]),([3])={[0],[3],[6],[9],[12]}=([6])=([9])=([12]).{[1],[2],[4],[7],[

9、8],[11],[13],[14]}{[3],[5],[9],[10],[12]}不是。因为有零因子。作业：P92,2,3,4.