考研辅导讲义_04.pdf

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1、第四章随机变量的数字特征本章知识要点随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望1设离散型随机变量X的概率分布为p(x),则i∞EX=∑xip(xi).(要求级数绝对收敛)i=12设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则+∞EX=∫xf(x)dx.(要求积分绝对收敛)−∞二、数学期望的性质nn1E(C)=C;2E(∑aiXi)=∑aiEXi;i=1i=1nn3若X1,X2,L,Xn独立，则E(∏Xi)=∏EXi;i=1i=q4若X≥0,则EX≥0;X≤Y,则EX≤EY.随机变量的方差一、随机变量的方差[]222DX=

2、EX−EX=EX−(EX).二、方差的性质1DX=0的充要条件是存在常数C,使得P(X=C)=1.22D(X+b)=DX,D(aX)=aDX;3D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y),当X,Y独立时,D(X±Y)=DX+DY;224对任意实数C,DX=E(X−EX)≤E(X−C).—1—8—随机变量函数的数学期望一、随机变量函数的数学期望1设离散型随机变量X的概率分布为p(x),则i∞E[]h(X)=∑h(x)p(x).(要求级数绝对收敛)iii=12设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则+∞E[]h(X

3、)=∫h(x)f(x)dx.(要求积分绝对收敛)−∞3设离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布为p(x,y),则ij∞∞E[]h(X,Y)=∑∑h(x,y)p(x,y).(要求级数绝对收敛)ijijij=11=4设连续型二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则+∞+∞E[]h(X,Y))=∫∫h(x,y)f(x,y)dxdy.(要求积分绝对收敛)−∞−∞二、六种常用分布的期望和方差协方差和相关系数一、协方差和相关系数的定义cov(X,Y)=E[](X−EX)(Y−EY)=E(XY)−(EX)(EY);co

4、v(X,Y)ρ(X,Y)=.DXDY二、协方差的性质1对称性:cov(X,Y)=cov(Y,X);mnmn2双线性:cov(∑aiXi,∑bjYj)=∑∑aibjcov(Xi,Yj).i=1j=1i==11j三、相关系数的性质ρ(X,Y)≤1;且ρ(X,Y)=1的充要条件是存在常数,ab,P(Y=aX+b)=1.四、独立与不相关X、Y独立是X、Y不相关的充分条件((X,Y)服从二元正态分布时是充要条件).X、Y不相关⇔cov(X,Y)=0⇔E(XY)=(EX)(EY)⇔D(X+Y)=DX+DY.—2—8—常考题型解

5、析[题型一]按定义求随机变量的期望和方差例1n件产品,其中仅有一件次品,其余为正品.每次随机抽取一件,直到取出次品为止.试就有放回与无放回两种方式,求取球次数X的期望与方差.例2(1995-M4)(教材习题11)设随机变量X的概率密度函数为⎧1+x,−1≤x<,0⎪f(x)=⎨1−x,0≤x≤,1⎪⎩,0其它.则X的方差DX=.例3设随机变量X的分布函数为x−a⎧−F(x)=⎪1−eθ,x>a,⎨⎪⎩,0x≤a.试求X的期望与方差.[题型二]求数学期望的变量分解法例4设某学校到火车站的路上共有个装有信号灯的交通路口

6、,第个路口遇到红灯的ni概率为p(i=,2,1L,n).试求途中遇到红灯次数的数学期望与方差.i例5某人写了n封信,又写好了这封信的信封,然后在每个信封内随意装入一封信.试n求信与信封匹配个数的期望.例6设一个试验只有两个结果:A,A,且每次试验A出现的概率为p0(

7、!则随机变量Z=3X−2的数学期望EZ=.解:因X~P)2(,故EX=λ=2.于是EZ=E3(X−)2=3EX−2=4.例8(1998-M4)设一次试验成功的概率为p,100次独立重复试验,当参数p=时,成功次数的标准差最大,其最大值为.例9(1999-M4)设变量X服从参数为λ的Poisson分布,且已知E[](X−1)(X−)2=1.则λ=.2例10(1997-M3)设X是一随机变量,EX=μ,DX=σ(σ>0).则对任意常数C,必有22222(A)E(X−C)=EX−C.(B)E(X−C)=E(X−μ).22

8、22(C)E(X−C)≥E(X−μ).(D)E(X−C)