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1、《概率统计》讲义第12页第四章多维随机变量及其分布第一节多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量的概念：很多随机试验的结果仅用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来描述，所以就有必要研究n维随机变量。n维随机变量一般记为()X,XX,,，是由n个随机变量组成的一个有机的整体。12n也称n维随机向量。上章研究的是一维随机变量。本章主要研究二维随机变量，通常记为()XY,。二维随机变量()XY,可以视为xoy平面上的一个随机点，以后也简称二维随机点。要研究()XY,，主要是要研究其分布状况，也就是要弄清：()XY,可能落在xoy平面上哪些地方，以及落在不同地方的可能性大小如何
2、。用()XY,的散点图可以直观地描述()XY,的分布状况。要严格地描述二维随机变量的分布状况，可以用联合分布函数。二、二维随机变量的联合分布函数：2二维随机变量()XY,的联合分布函数的定义是：F(x,y)=P(X££x,)Yy。定义域为R，即整个xoy平面。F(xy,)具有如下基本性质：①0££F(xy,)1。②当x®-¥或y®-¥时，F(xy,)0®；当x®+¥且y®+¥时，F(xy,)1®。③若将y视为定值，则F(xy,)成为以x为自变量的一元函数，此函数是单调非降且处处右连续的。将x视为定值亦类似。可以证明，利用F(xy,)，能够计算()XY,落入任何一个平面区域D内的概率。
3、因此，联合分布函数完整地描述了二维随机变量的分布状况。典型例题：课本P.74例1：求A、B、C。三、二维离散型随机变量的联合分布表：如果X、Y皆为离散型随机变量，则称()XY,为二维离散型随机变量。要表示二维离散型随机变量的分布状况，可用其“联合分布律”（或称联合分布列）。联合分布律可以写成通式的形式，但建议尽量写成表格的形式，因为它更为直观，这个表格称为“联合分布表”。具体格式可参阅课本P.75。在实际问题中，要写出()XY,的联合分布表，应该首先将X、Y的所有可能取值找到，然后画出联合分布表的“框架”，最后计算()XY,取各个“有序实数对”的概率。联合分布表应该满足如下基本性质：
4、表中所有概率值均为非负数，且总和为1。典型例题：课本P.74例2。补充例题：袋中有3只黑球、2只红球和1只白球，现从袋中任取2只球，以X表示取得的黑球数，以Y表示取得的白球数，写出()XY,的联合分布表。四、二维连续型随机变量的联合密度函数：如果X、Y皆为连续型随机变量，则称()XY,为二维连续型随机变量。设F(xy,)为联合分布函数，xy若存在另一定义在xoy平面上的非负函数f(xy,)，满足F(x,y)=òòf(u,)vdudv，则称f(xy,)-¥-¥为()XY,的联合密度函数。上述二重积分的积分区域为Dxy，即点(xy,)左下方的无限区域。2¶二维连续型随机变量的性质：①f(
5、xy,)0³；②f(x,y)1dxdy=；③F(x,y)=f(xy,)；òòR2¶¶xy④()XY,落在平面上任意一点处或任意一条线上的概率皆为0；⑤P{(X,Y)Î=D}òòf(xy,)dxdy，D其中D为xoy平面内的任意区域。D是否包括其边界不重要。由最后一条性质不难理解，联合密度函数完整地描述了二维连续型随机变量的分布状况。《概率统计》讲义第13页注：若()XY,是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(xy,)，则可以认为：()XY,可能的分布范围就是f(xy,)的非零区域。若f(xy,)在点P(xy,)处连续，则f(xy,)的大小反映了()XY,落在00000点P或其附近
6、处的可能性大小。典型例题：课本P.75例3，P.76例4。0为了大家学习的方便，我们将二重积分的基本知识（主要是计算公式）列举如下：二重积分的记号是：òòf(xy,)dxdy。基本性质：被积函数中的常数因子可以提到积分号前；可以按照D被积函数拆成若干个二重积分的和；可以按照积分区域拆成若干个二重积分的和。二重积分的主要计算公式(以下三个公式中的积分区域分别是X型区域、Y型区域、矩形区域)：ìüa££xbbxéùj2()(1)若D=íý(xy,)jj(x)££yx()，则òòDf(x,y)dxdy=òòaxêúj()f(x,)ydydx；îþ12ëû1ìüc££yddyéùy2()(2
7、)若D=íý(xy,)yy(y)££xy()，则òòDf(x,y)dxdy=òòcyêúy()f(x,)ydxdy；îþ12ëû1ìa£xb£üébdùéù(3)若D=íý(xy,)，则f(x)f(y)dxdy=×f(x)dxf()ydy。îþc££ydòòD12êëòòac12úûêúëûbjj22(x)bxéù()bd注：òadxòjj(x)f(x,y)dy=òòaxêú()f(x,)ydydx；òòacf(x,)ydxdy的积分区域是以上公式11ëû
