蓝皮概率论讲义(18-23页).pdf

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1、《概率统计》讲义第18页第七章数理统计的若干基本概念及基本结论一、几个基本概念若我们要研究某类（或某个）事物在某一方面的特性，而此特性可以用一个随机变量的概率分布或数字特征来表示，这个随机变量就称为总体，通常用X表示。设对X进行了n次独立观察，得到了X的n个具体取值：(X,X,,X)，此过程称为抽样。12n(X,X,,X)称为样本，n称为样本容量。12n今后(X,X,,X)总表示（来自X的）简单随机样本，满足：①X,X,,X皆与X具有12n12n共同的分布；②X,X,,X相互独立。12n抽样之后，(X,X,,X)的值就

2、确定了，记为(x,x,,x)，称为样本观察值，或样本值，12n12n也简称为样本。数理统计的基本任务就是：研究如何进行统计推断，即根据样本观察值(x,x,,x)，对X的12n概率分布或数字特征进行推断。设Y=g(X,X,,X)的表达式中不含有任何未知参数，是个随机变量，则称Y是个统计量。12n其观察值记为g(x,xx,,)。12n二、常用的统计量设X为总体，(X,X,,X)是来自X的简单随机样本，样本观察值为(x,x,,x)。12n12n1n1n22①样本均值：XX=åi②样本方差：Sn=-å()XXi③样本标准差：S

3、n>0nni=1i=11n22④修正样本方差：S=-å()XXi⑤修正样本标准差：S>0n-1i=11n1nrr⑥样本的r阶原点矩：AXr=åi⑦样本的r阶中心矩：Br=-å()XXinni=1i=11n1n1n2222以上①－⑤的观察值：xx=åi，sn=-å()xxi，sn，s=-å()xxi，s。nnn-1i=1i=1i=11n22222注：Snn,S,,SS的大小都反映了样本值的分散程度大小。不难证明：Sn=-åXXi。ni=1三、常用统计量的数字特征22设X为总体，(X,X,,X)是来自X的简单随机样本，X,,SS的含

4、义如上所述，则有：12nnDX2n-12EX=EX，DX=，ESn=DX，ES=DX。nn证明：EX=Eç÷æöXX1++n=EX1++×EXn==nEXEX，DXD=æöç÷XX1++nèønnnèøn2222DX1++DXnn×DXDX2æöXX1++n2EX1++EXn2===，ESEn==ç÷-X-EXnn22nnnèø2n×EX22222DXn-1=-=+EX()DXEX-(DX+EX)=(DX+EX)-()+=EXDX，nnn2æönn22ES=Eç÷Sn==ESnDX。èønn--11《概率统计》讲义第1

5、9页四、数理统计中的常用分布1.正态分布：以前已作详细介绍。c2分布：设2222.Z=X12+XX++n，其中X1,X2,,Xn相互独立，且都服从于标准正态分布，c2分布，记为2则称Z服从自由度为n的Zn~c()。X23.t分布：设Z=，其中XN~()0,1，Yn~c()，而X与Y相互独立，则称Z服从自由度Yn/为n的t分布，记为Z~tn()。Xn/1224.F分布：设Z=，其中Xn~c()1，Yn~c()2，而X与Y相互独立，则称Z服从自由度Yn/2为nn12,的F分布，记为Z~F(nn12,)。以下是几种常用分布的密度函数

6、图像，以及它们的“上a分位点”的记号及含义。“上a分位点”也称为“上100a百分位点”。2注：①ua、ca()n、ta()n、Fa(nn12,)的值都可以根据a及自由度，查书末的数学用表得到。②可以证明：Fa(n1,n2)=1/F1-a(nn21,)。五、正态总体的抽样分布设X表示总体，(X,X,,X)为来自X的简单随机样本，Y=g(X,X,,X)是个统计量，12n12n则Y的分布称为抽样分布。有时虽然Y=g(X,X,,X)含有未知参数，它的分布也称为抽样分布。12n为了研究的方便，以下我们在X服从于正态分布的前提下，研究Y

7、的分布。2重要结论：设总体X~N(m,s)，(X,X,,X)是来自X的简单随机样本，则：12n2nS22sn2(n-1)S2①X~N(m,)；②~c(n-1)，即~c(n-1)。ns2s22X-mX-m③X与Sn相互独立；④n-1~t(n-1)，即n~t(n-1)。SnS上述结论①是P.157定理1的特例，②的证明不作要求，③由样本均值与样本方差的含义不难理解，④的证明见P.163上。典型例题：课本P.163例3。《概率统计》讲义第20页第八章参数估计在本章中我们用θ表示与总体X有关的某未知参数。θ可能是X的某个数字特征，或者是

8、X的分布列或密度函数中的某未知常数。本章的任务是研究如何根据抽样所得的样本观察值(x,x,,x)，对θ进行12n估计。估计θ的方法有两大类：点估计，即估计θ等于多少；区间估计，即估计θ位于什么区间内。第一节点估计一、点估计的概念与步骤：设θ是与总