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1、《概率统计》讲义第18页第七章数理统计的若干基本概念及基本结论一、几个基本概念若我们要研究某类(或某个)事物在某一方面的特性,而此特性可以用一个随机变量的概率分布或数字特征来表示,这个随机变量就称为总体,通常用X表示。设对X进行了n次独立观察,得到了X的n个具体取值:(X,X,,X),此过程称为抽样。12n(X,X,,X)称为样本,n称为样本容量。12n今后(X,X,,X)总表示(来自X的)简单随机样本,满足:①X,X,,X皆与X具有12n12n共同的分布;②X,X,,X相互独立。12n抽样之后,(X,X,,X)的值就
2、确定了,记为(x,x,,x),称为样本观察值,或样本值,12n12n也简称为样本。数理统计的基本任务就是:研究如何进行统计推断,即根据样本观察值(x,x,,x),对X的12n概率分布或数字特征进行推断。设Y=g(X,X,,X)的表达式中不含有任何未知参数,是个随机变量,则称Y是个统计量。12n其观察值记为g(x,xx,,)。12n二、常用的统计量设X为总体,(X,X,,X)是来自X的简单随机样本,样本观察值为(x,x,,x)。12n12n1n1n22①样本均值:XX=åi②样本方差:Sn=-å()XXi③样本标准差:S
3、n>0nni=1i=11n22④修正样本方差:S=-å()XXi⑤修正样本标准差:S>0n-1i=11n1nrr⑥样本的r阶原点矩:AXr=åi⑦样本的r阶中心矩:Br=-å()XXinni=1i=11n1n1n2222以上①-⑤的观察值:xx=åi,sn=-å()xxi,sn,s=-å()xxi,s。nnn-1i=1i=1i=11n22222注:Snn,S,,SS的大小都反映了样本值的分散程度大小。不难证明:Sn=-åXXi。ni=1三、常用统计量的数字特征22设X为总体,(X,X,,X)是来自X的简单随机样本,X,,SS的含
4、义如上所述,则有:12nnDX2n-12EX=EX,DX=,ESn=DX,ES=DX。nn证明:EX=Eç÷æöXX1++n=EX1++×EXn==nEXEX,DXD=æöç÷XX1++nèønnnèøn2222DX1++DXnn×DXDX2æöXX1++n2EX1++EXn2===,ESEn==ç÷-X-EXnn22nnnèø2n×EX22222DXn-1=-=+EX()DXEX-(DX+EX)=(DX+EX)-()+=EXDX,nnn2æönn22ES=Eç÷Sn==ESnDX。èønn--11《概率统计》讲义第1
5、9页四、数理统计中的常用分布1.正态分布:以前已作详细介绍。c2分布:设2222.Z=X12+XX++n,其中X1,X2,,Xn相互独立,且都服从于标准正态分布,c2分布,记为2则称Z服从自由度为n的Zn~c()。X23.t分布:设Z=,其中XN~()0,1,Yn~c(),而X与Y相互独立,则称Z服从自由度Yn/为n的t分布,记为Z~tn()。Xn/1224.F分布:设Z=,其中Xn~c()1,Yn~c()2,而X与Y相互独立,则称Z服从自由度Yn/2为nn12,的F分布,记为Z~F(nn12,)。以下是几种常用分布的密度函数
6、图像,以及它们的“上a分位点”的记号及含义。“上a分位点”也称为“上100a百分位点”。2注:①ua、ca()n、ta()n、Fa(nn12,)的值都可以根据a及自由度,查书末的数学用表得到。②可以证明:Fa(n1,n2)=1/F1-a(nn21,)。五、正态总体的抽样分布设X表示总体,(X,X,,X)为来自X的简单随机样本,Y=g(X,X,,X)是个统计量,12n12n则Y的分布称为抽样分布。有时虽然Y=g(X,X,,X)含有未知参数,它的分布也称为抽样分布。12n为了研究的方便,以下我们在X服从于正态分布的前提下,研究Y
7、的分布。2重要结论:设总体X~N(m,s),(X,X,,X)是来自X的简单随机样本,则:12n2nS22sn2(n-1)S2①X~N(m,);②~c(n-1),即~c(n-1)。ns2s22X-mX-m③X与Sn相互独立;④n-1~t(n-1),即n~t(n-1)。SnS上述结论①是P.157定理1的特例,②的证明不作要求,③由样本均值与样本方差的含义不难理解,④的证明见P.163上。典型例题:课本P.163例3。《概率统计》讲义第20页第八章参数估计在本章中我们用θ表示与总体X有关的某未知参数。θ可能是X的某个数字特征,或者是
8、X的分布列或密度函数中的某未知常数。本章的任务是研究如何根据抽样所得的样本观察值(x,x,,x),对θ进行12n估计。估计θ的方法有两大类:点估计,即估计θ等于多少;区间估计,即估计θ位于什么区间内。第一节点估计一、点估计的概念与步骤:设θ是与总