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1、第21卷第2期连云港职业技术学院学报Vol.21No.22008年6月JournalofLianyungangTechnicalCollegeJune.2008文章编号:1009-4318(2008)02-0028-02*斐波那契数列通项公式的几种求法张新娟(连云港职业技术学院,江苏连云港222006)摘要:斐波那契数列是历史上著名的数列,它在数学、物理、化学及生物等学科中常出现且又具有奇特的数学性质,甚至在股市上也被称为神奇数字,其通项公式的求法有很多种,本文分别运用常用求数列通项的方法,子空间理论,矩阵理论等求斐波那契数列的通项公式.关键词:斐波那契数列;通项公式;子空间;矩
2、阵中图分类号:O151.21文献标识码:A1斐波那契数列的定义此定义:数列F1,F2,,,Fn,,如果满足条件1+5n1-5nnn()-()F1=F2=1;Fn=Fn-1+Fn-2(对所有的正整数nE3),Fn=q2=q1=22.q2-q15则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列.2求斐波那契数列通项公式的几种方法解法一的关键是:满足条件(1)的两个等比数列{an},解法一:先求满足递推关系{bn}之和{cn}仍然满足条件(1)({cn}一般说来不再是等比an=an-1+an-2(1)数列),适当选择{an},{bn}就可以使{cn}的前两项都等于1.的等比数列{an},
3、其中an=a1qn-1.于是(1)变形为解法二:因为满足条件(1)的任意两个数列的和仍然满n-1n-2n-321?5足条件(1),满足条件(1)的任意一个数列{an}的常数倍a1q=a1q+a1q,即q=q+1,即q=2.{Ka}仍然满足条件(1).考虑由复数组成的数列{a}的全体nn可见,满足条件(1)的等比数列有两个可能的公比q1=组成的集合V对于通常的加法和数乘构成的复数域C上的1+51-5线性空间,则其中满足条件(1)的全体数列组成的集合和q2=.22U={{an}
4、an=an-1+an-2,PnE3}如果等比数列{an}满足条件a1=a2=1,则公比为1,既对加法和数乘
5、封闭,是V的一个子空间.U中每个数列a=不等于q1也不等于q2,因此不可能满足条件(1).但是,如果{an}由它的前两项a1,a2唯一确定,记作f(a1,a2).映射f:2n-1将满足条件(1)的两个等比数列{a,aq1,aq1,,,aq1,,}(a1,a2)
6、yf(a1,a2)是二维数组空间C2到U的同构,因此2n-1与{b,bq2,bq2,,,bq2,,}逐项相加得到数列U是二维空间.22{cn}={an+bn}={a+b,aq1+bq2,aq1+bq2,,,21+5aqn-1n-1解方程q=q+1得到两个不同的根q1=和q2=1+bq2,,}(2)2则数列(2)仍然满足条件
7、(1).如果能适当选择a,b使c1=c21-5,也就是在U中找到了两个线性无关的等比数列f(1,=1,即2n-1n-1a+b=1q1),f(1,q2)(这里f(1,q1)={q1},f(1,q2)={q2}),(3)aq1+bq2=1它们构成了U的一组基.则{cn}就符合斐波那契数列{Fn}所满足的所有条件.容易看下面求斐波那契数列f(1,1)在这组基下的坐标(a,b),出,满足条件的斐波那契数列{Fn}是唯一的.因此,满足条件即就是求满足条件(3)的a,b决定的数列(2)就是所求的斐波那契数列.f(1,1)=af(1,q1)+bf(1,q2)即(1,1)=a(1,q1)+b(1
8、,由于q1,q2已知,所以可以将条件(3)看成以a,b为未q2)q2-11-q1a+b=1知数的二元一次方程组,解之得a=,b=.也就是条件(3)的a,b的值.(同解法一)q2-q1q2-q1aq1+bq2=1qn-1n-1n-1n-1从而Fn-1n-11(q2-1)+q2(1-q1)故Fn=f(1,1)=af(1,q1)+bf(1,q2)=aq1+bq2n=aq1+bq2=q2-q1n-1n-1q1(q2-1)+q2(1-q1)=由于q1+q2=1,q2-1=-q1,1-q1=q2,又q2-q1=5,因q2-q1*收稿日期:2008-04-11第21卷第2期张新娟:斐波那契数列
9、通项公式的几种求法#29#1+5n1-5n1+5n1-5nnn()-()nn()-()q2-q122K2-K122==.(过程同解法一)从而Fn==.q2-q15K2-K152解法二的关键在于由方程q=q+1的两个不同的根先解法三可以推广到一般的情形:对任意给定的复数c1,求出U的一组基f(1,q1),f(1,q2),然后解由关系式f(1,1)c2,如果数列{un}满足条件un=c1un-1+c2un-2(PnE3),=af(1,q1)+bf(1,q2)得到的方程组(1,1)=a
