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1、§3.数列知识要点1.⑴等差、等比数列：等差数列等比数列定义a−a=dan+1nn+1=q(q≠0)an递推公式an=an−1+d；an=am−n+mdn−ma=aq；a=aqnn−1nm通项公式an=a1+(n−1)dn−1a=aq（a,q≠0）n11中项a+an−kn+kG=±aa(aaf0)（A=（n−kn+kn−kn+k2**n,k∈N,nfkf0）n,k∈N,nfkf0）前n项和nSn=(a1+an)⎧na1(q=1)2⎪S=⎨a(1−qn)a−aqn11nn(n−1)⎪=(q≥2)Sn=na1+d
2、⎩1−q1−q2重要性质**am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N,am⋅an=ap⋅aq(m,n,p,q∈N,m+n=p+q)m+n=p+q)⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①an−an−1=d(n≥2,d为常数)②2a=a+a(n≥2)nn+1n−1③a=kn+b(n,k为常数).n⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①an=an−1q(n≥2,q为常数,且≠0)2①②a=a⋅a(n≥2，aaa≠0)nn+1n−1nn+1n−1注①：i.b=ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b=aca、b
3、、c等比数列.ii.b=ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b=±ac→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b=±ac且acf0→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.n③a=cq(c,q为非零常数).n④正数列{a}成等比的充要条件是数列{loga}（xf1）成等比数列.nxn保护原创权益净化网络环境⎧s1=a1(n=1)⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an=⎨⎩sn−sn−1(n≥2)[注]：①a=
4、a+(n−1)d=nd+(a−d)（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等n11差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.2⎛d⎞2⎛d⎞d②等差{an}前n项和Sn=An+Bn=⎜⎟n+⎜a1−⎟n→可以为零也可不为零→为等差的充要条⎝2⎠⎝2⎠2件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零..常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍S,S−S,S−S...；
5、k2kk3k2k+Sa②若等差数列的项数为2n(n∈N)，则S−S=nd，奇=n；偶奇S偶an+1③若等差数列的项数为2n−1(n∈N+)，则S=(2n−1)a，且S−S=a，S奇n2n−1n奇偶n=S偶n−1⇒代入n到2n−1得到所求项数.n(n+1)3.常用公式：①1+2+3…+n=22222n(n+1)(2n+1)②1+2+3+Ln=623333⎡n(n+1)⎤③1+2+3Ln=⎢⎥⎣2⎦n5n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…⇒an=10−1；5，55，555，…⇒an=(10−1).94.等
6、比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第n年产量为n−1a(1+r)，且过n年后总产量为：n2n−1a[a−(1+r)]a+a(1+r)+a(1+r)+...+a(1+r)=.1−(1+r)⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则n每月的a元过n个月后便成为a(1+r)元.因此，第二年年初可存款：12121110a(1+r)[1−(1+r)]a(1+r
7、)+a(1+r)+a(1+r)+...+a(1+r)=.1−(1+r)⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.()m()m()m()m−1()m−2()()mx1+r−1ar1+ra1+r=x1+r+x1+r+......x1+r+x⇒a1+r=⇒x=r(1+r)m−15.数列常见的几种形式：⑴a=pa+qa（p、q为二阶常数）→用特证根方法求解.n+2n+1n22具体步骤：①写出特征方程x=Px+q（x对应a，x对应a），并设二根x,x②若x≠x可设n+2n+112
8、12保护原创权益净化网络环境nnnan.=c1x1+c2x2，若x1=x2可设an=(c1+c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.⑵a=Pa+r（P、r为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为nn−1n−1a=Pa+qa的形式，再用特征根方法求a；④a=c+cP（公式法），c,c由a,a确定.n+2n+1nnn121212r①转化等差，等比：an+1+x=P(an
