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1、第二节直线与圆的位置关系【知识梳理】1.圆周角、圆心角、弦切角定理相关定理圆周角圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____圆心角定理:圆心角的度数等于它所对_________.推论:同弧或等弧所对的圆周角_____;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧_____弦切角弦切角等于它所夹的弧所对的_______一半弧的度数相等相等圆周角2.(1)性质:定理1:圆的内接四边形的对角_____.定理2:圆内接四边形的外角等于它的___________.(2)判定:定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点
2、_____.推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.互补内角的对角共圆3.圆的切线的性质与判定定理(1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_____.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过_____.(2)判定定理:经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线.半径切点圆心垂直4.与圆有关的比例线段定 理内 容相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积_____割线定理从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割
3、线与圆的交点的两条线段长的积_____切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,_______是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的_______相等,圆心和这一点的连线平分_________的夹角相等相等切线长切线长两条切线【小题快练】1.(2014·天津高考)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④A
4、F·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④【解析】选D.由弦切角定理得∠FBD=∠EAC=∠BAE,又∠BFD=∠AFB,所以△BFD∽△AFB,所以即AF·BD=AB·BF,排除A,C.又∠FBD=∠EAC=∠DBC,排除B.2.(2014·湖北高考)如图,P为☉O外一点,过P作☉O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=.【解析】由切割线定理得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,所以QA=2,PB=PA=4.答
5、案:43.(2014·湖南高考)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O的半径等于.【解析】延长AO,作出直径AD,连接BD,则AB垂直于BD,设BC,AD交于E,因为AO⊥BC,AB=,BC=2,所以AE=1,由射影定理得AB2=AE·AD,3=2r,r=.答案:4.(2014·陕西高考)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=.【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,又AC=2AE,得AB=2AF,所以且∠A=∠
6、A得△AEF∽△ACB且相似比为1∶2,又BC=6,所以EF=3.答案:3考点1圆周角定理及圆内接四边形【典例1】(2015·南阳模拟)已知:直线AB过圆心O,交☉O于A,B,直线AF交☉O于F(不与B重合),直线l与☉O相切于C,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连接AC,求证:(1)∠BAC=∠CAG.(2)AC2=AE·AF.【解题提示】(1)连接BC,根据AB为☉O的直径得到∠ECB与∠ACG互余,根据弦切角得到∠ECB=∠BAC,得到∠BAC与∠ACG互余,再根据∠CAG与∠ACG互余,得到∠BAC=∠CA
7、G.(2)连接CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得∠GCF=∠ECB,再用外角进行等量代换,得到∠AFC=∠ACE,结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE,从而得到AC是AE,AF的比例中项,从而得到AC2=AE·AF.【规范解答】(1)连接BC,因为AB为☉O的直径,所以∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°.因为GC与☉O相切于C,所以∠ECB=∠BAC,所以∠BAC+∠ACG=90°.又因为AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°,所以∠BAC=∠CAG.(2)连接CF.由(1)可知∠EAC=∠CAF
8、,因为GE与☉O相切于C,所以∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB.因为∠AFC=∠GCF+90°,∠ACE=∠ECB+90°,所以∠AFC=∠ACE.因为∠FAC=∠CAE,所以△FAC∽△CAE,所以所以AC2=AE·AF.【规律方法】圆周角定理常用的转化(1)圆周角与圆周角之间的转化.(2)圆周角与圆心角之间的转化.(3)
