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1、选修4-1几何证明选讲第一节 相似三角形的判定及有关性质【知识梳理】1.平行线等分线段定理名 称条 件结 论定 理一组平行线在一条直线上截得的线段相等在其他直线上截得的线段也_____推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线_____第三边推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线_____另一腰相等平分平分2.平行线分线段成比例定理(1)定理:三条平行线截两条直线,所得的_________成比例.(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_______.对应线段成比例3.相似三角形的判定及性质(1)相
2、似三角形的判定:①定义:对应角_____,对应边_______的两个三角形叫做相似三角形.②预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)_____,所构成的三角形与原三角形_____.相等成比例相交相似③判定:条 件结论任意三角形两角对应_____两个三角形相似两边对应_______且夹角_____三边对应_______直角三角形有一个锐角对应_____两个直角三角形相似两条直角边对应_______斜边和一条直角边对应_______相等成比例相等成比例相等成比例成比例(2)相似三角形的性质:对应量的比值与相似比的关系对应高、中
3、线、角平分线、周长,外接圆的直径、周长等于相似比面积比、外接圆的面积比等于相似比的平方4.直角三角形的射影定理定理:直角三角形斜边上的高是_____________________的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_________.两直角边在斜边上射影比例中项【小题快练】1.(2015·牡丹江模拟)如图,正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,AE=BE,则有()A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD【解析】选B.在正三角形ABC中,AE=BE,在△AED与△CBD中,∠
4、A=∠C,故△AED∽△CBD.2.(2014·广东高考)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=.【解析】显然△CDF∽△AEF,则答案:33.(2015·长沙模拟)如图,D是△ABC中BC边上一点,点E,F分别是△ABD,△ACD的重心,EF与AD交于点M,则=.【解析】连接AE,AF,并延长交BC于G,H.因为点E,F分别是△ABD,△ACD的重心,所以=2,所以EF∥GH,所以=2.答案:24.(2015·中山模拟)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB,
5、CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,则EF=.【解析】由题意AD∥EF∥BC,则△AOD∽△COB,则则则EO=同理FO=20×则EF=15.答案:15考点1平行线分线段成比例定理【典例1】如图,将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A折叠至边上的点E,使DE=5,折痕为PQ,求【解题提示】过点M作平行线构造平行线段组.【规范解答】如图所示,过M作MN∥AD交DC于N,所以又因为AM=ME,所以DN=NE=DE=.所以NC=NE+EC=+7=.因为PD∥MN∥QC,所以【规律方法】平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利
6、用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用.(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线,要结合条件构造平行线组,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题.【变式训练】如图,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB=15cm,AF=4cm,求BE和DE的长.【解析】如图,因为DE∥AC,所以∠3=∠2.又AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.所以∠1=∠3,即AE=ED.因为DE∥AC,EF∥BC,所以四边形EDCF是平行四边形.所以ED=FC,
7、即AE=ED=FC.设AE=DE=FC=xcm.由EF∥BC得即解得x1=6,x2=-10(舍去).所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).【加固训练】如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF,AD=DC,求证:四边形ABCD是菱形.【证明】因为DF∥BE,所以∠DFA=∠BEC.因为CF=AE,EF=EF,所以AF=CE.在△ADF和△CBE中,因为DF=BE,∠DFE=∠BEF,AF=EC,所以△ADF≌△CBE(SAS),所以AD=BC,所以∠DAC=∠BCA,所以AD∥BC,所以
8、四边形ABCD是平行四边形.因为AD=DC,所以四边形ABCD是菱形.考点2相似三角形的判定与性质【典例2】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC交BC于点
