上海高考补习班 上海高考辅导班 新王牌.ppt

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1、第十二节(一)导数的应用上海新王牌教育[主干知识梳理]一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为．增函数减函数二、函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞02．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)

2、比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0三、函数的最值1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)[基础自测自评]1．(教材习题改编)若函数f(x)

3、＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5D[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.]2．(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()B[由导函数图象知，函数f(x)在[－1，1]上为增函数．当x∈(－1，0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0，1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.]3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(

4、x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D[求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．]5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)≥0⇒a≤3.答案3[关键要点点拨]1．f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)

5、＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′

6、x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．运用导数解决函数的单调性问题[规律方法]求可导函数单调区间的一般步骤

7、和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．[跟踪训练]1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在

8、，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．运用导数解决函数的极值问题[规律方法]求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这

9、个根处取极