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《复变函数4.3-4.4复变函数地泰勒展开及罗朗展开.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1泰勒级数展开定理2将函数展开成泰勒级数§4.3解析函数的泰勒展开实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具.对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数—亦即泰勒级数.这是解析函数的重要特征.4.3.1泰勒级数展开定理R为到D边界的距离定理4.9(Taylor展开定理)设在区域D内解析,为D内的一点,.R(D是全平面时,R=+),则在内可展开为幂级数其中上述的幂级数称为在的泰勒级数(展开式).综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的重要性质：定
2、理4.10函数f(z)在z0处解析的充要条件是f(z)在z0的某邻域内有泰勒展开式.这是解析函数的重要特征.泰勒展开式的唯一性设复变函数f(z)是D内的解析函数,z0是D内的一点，且在内可展成幂级数则这个幂级数是在的泰勒级数，即注：这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接方法奠定了基础.4.3.2将函数展开成泰勒级数将函数展开为泰勒级数的方法:1.直接方法;2.间接方法.1.直接方法由Taylor展开定理直接计算级数的系数然后将函数f(z)在z0展开成幂级数.例4.4求在的泰勒展开式.所以它在处的泰勒级数为并且收敛半径解:因为在复平面上解析，且2.间接方法借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的
3、性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例4.5利用并且收敛半径同理本例利用直接方法也很简单以及可求得和解：是的唯一奇点,且故收敛半径在中，用-z替换z,则逐项求导，得例4.7将展开为z的幂级数.令则解：根据例4.6，例4.8将函数在处展开成泰勒级数，并指出该级数的收敛范围.当即时,解：先对函数进行代数变形，即附:常见函数的Taylor展开式1罗朗级数的概念2函数的罗朗级数展开3典型例题§4.4罗朗级数4.4.1罗朗级数的概念如果函数f(z)在z0点解析,则
4、在z0的某邻域内,可展开为Taylor级数,其各项由z-z0的非负幂组成.如果f(z)在圆环域内解析,则f(z)在这个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数.它将在后面讨论孤立奇点与留数及Z变换理论中起重要作用.负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分这种双边幂级数的形式为同时收敛罗朗级数收敛收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域两收敛域无公共部分;两收敛域有公共部分结论:.常见的特殊圆环域:...幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域内解析.(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.对于罗朗级数，已经知道：罗朗级数的收敛域是圆环域，且
5、和函数在圆环域内解析.问题:在圆环域内解析的函数是否可以展开成罗朗级数?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:4.4.2函数的罗朗级数展开定理4.12(Laurent展开定理)设函数f(z)在圆环域内解析,则函数f(z)在此圆环域内可展开为罗朗级数其中曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.注:函数f(z)展开成罗朗级数的系数与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同,但这里的函数f(z)在圆环域内解析,在内不一定解析,所以不能化为z0处的导数特别地,如果函数f(z)在内解析,那么根据柯西-古萨定理,所以罗朗级数包含了Taylor级数.罗朗展开式的唯一性设函数f(z)在圆环域R1<
6、
7、z-z0
8、9、不同的罗朗展开式.(包括Taylor展开式作为特例)这与罗朗展开式的唯一性并不矛盾,但在同一圆环域内的展开式唯一.内展开成罗朗级数.例4.9将函数在圆环域处都解析,并且可分解为4.4.3典型例题函数f(z)在z=1和z=2处不解析,在其它点oxy1(1)在内,有则于是在内，12oxy(2)在内,有2oxy于是在内,(3)在内,有于是在内,2oxy.1(4)由知,展开的级数形式应为所以在内,例4.1
