纽结unknotting数计算方法研究.pdf

《纽结unknotting数计算方法研究.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第30卷第6期东北电力大学学报V01．30．No．62010年l2月JournalOfNortheastDianliUniversityDec．，2010文章编号：1005-2992(2010)06—0078—04纽结unknotting数计算方法研究赵丽萍(东北电力大学理学院，吉林吉林132012)摘要：作为区分纽结的不变量，unknotfing数在纽结理论研究中具有重要的作用。探讨一种计算纽结unknotting数的方法，即首先通过改变纽结的交叉并利用R—moves与合痕得到平凡结，然后算出所需改变的最小交叉数。通过实例对该方法做了验证，验证结果表明该方法对于unknottin

2、g数为1的纽结是有效且可行的。关键词：unknotting数；合痕；R—move8中图分类号：017文献标识码：A纽结理论的中心问题就是纽结分类问题，要证明两个纽结不等价，不能因为找不到两个纽结之间的形变，就断定它们不等价，通常还是用拓扑学的基本方法，即找到纽结等价的不变量。若两个纽结有一不变量各不相同，则这两个纽结不等价。纽结不变量有许多，如unknotting数、bridge数、crossing数等，它们都可以用来区分纽结，其中unknotting数在纽结理论研究中具有重要的作用。在文献[4—6]中，给出了unknotting数在纽结理论中价值及其应用。本文探讨一种计算纽结un

3、knotting数的方法，这种方法有助于unknotting数为1纽结的研究。1基本定义定义1在s中同胚于s的一个子流形称为一个纽结(knot)。也称纽结是在空间中自身不相交的’一条闭曲线¨。定义2设是中一个纽结，若界定中一个2一圆片，则称为平凡纽结。定义3层中的同胚h叫做合痕于恒等映射，假如存在同伦：E。X，E。，使得每个h：E．÷矿为同胚，h。为恒等映射，h=，如果有一个合痕于恒等映射的同胚h，满足()=，则h(K)给出了一个连续族的纽结，当t从0增到1时，纽结从逐渐地变动到。定义4若一个纽结可以表示为两个纽结的合成，其中任一纽结都是非平凡结，则称该纽结为合纽[3]钳O定义5若

4、一个纽结不是任意两个非平凡结的合成，则它是素纽结。定义6一个纽结的unknotting数(K)是指，为了得到一个平凡纽结而做交叉改变的最少的改变次数J。定义7R—moves是指图l一3所示的三种改变纽结投射的一种，尽管这些移动改变了纽结的投射，但它们不会改变由此投射所代表的纽结⋯。在1926年德国数学家KurtReidemeister(1893—1971)证明收稿日期：2010—09—25作者简介：赵丽萍(1978一)，女，东北电力大学理学院讲师，硕士学位，研究方向：低维拓扑．第6期赵丽萍：纽结unknoRing数计算方法研究79了，同一个纽结的两个不同的投射，可以由一系列的R．m

5、oves．和平面合痕从其中的一个投射变到另一个投射。或9兮}或9<兮<或图1引入或除去—个扭转图2添加两个交叉或减少两个交叉图3从—个交叉的这边滑动到另一边2运用R．moves与合痕计算纽结的unknotting数到目前为止，人们关于纽结不变量中的unknotting数知之甚少，像许多问题一样，看似很简单很显然的结论，但要从理论的角度去证明它却不是很容易。对于纽结而言，在1976年，DaleRolfsen在(TheKnotBook》一文中给出了关于9个交叉点的纽结，8个交叉点的2一分支链环和7个交叉点的3一分支链环以及相应一些不变量的列表，这里以列表中的纽结为例，运用R—moves

6、与合痕，算出纽结的unknotting数。给出两种方法：(1)根据定理和纽结的构造，得出一些纽结的unknotting数。(2)针对纽结的某种投射，首先改变其交叉点，然后运用R—moves与合痕使之变为平凡结。在这个过程，寻求所需改变最少交叉使纽结变为平凡结的交叉点。定理1Twist结的unknotting数一定是1。证明由于Twist结的亏格为1，所以Twist结是素纽结，又由Twist结自身的构造知，通过改变一个交叉，便可使之变为平凡结，所以Twist结的unknotting数为1。运用R—moves与合痕可得到平凡结，所以8结的un图81．结knotting数为1。如图4所示

7、，改变图中所标记的交叉，再通过R—moves与合痕可得到平凡结。推论131结，41结，52结，61结，7：结，8。结，92结的unknotting数为1。证明对于3结，即三叶结来说，它是非平凡结，通过一个交叉改变即可使之变为平凡结，3结的unknotting数也是1。根据纽结的构造可知，4结，5：结，6结，7结，8结，9结是twist结。由定理1知，它们的unknotting数是1。推论262结，63结，76结，77结，87结，89结，8l3结，8l4结，820结，8