固体物理第1章晶体结构.ppt

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1、§1-5晶体的宏观对称性晶态物质所形成的单晶体，外形上的规律性突出地表现在晶面的对称排列。晶态物质的性质是和方向有关的，或者说是各向异性的。但由于晶格的周期性排列，晶格又存在某种对称性，因此其宏观性质也存在同样的对称性。和一般的几何图形不同，晶体只具有为数不多的对称类型，这是由于晶格周期性的限制。按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果基本对称操作不包括平移，则组成32种宏观的对称类型，称为点群；如果包括平移，就包括230种微观的对称性，称为空间群。对于具有六角对称性的晶体，如果坐标轴选取在六角轴的方向和其垂直平面内，则有：以介电常数为例，其一般为二阶张量，即对于具

2、有立方对称性的晶体，；（证明）1、线性变换和刚体一样，晶格中任意两点间的距离，在操作前后应保持不变，此即线性变换。设有变换使即：因操作前后应保持任意两点间的距离不变，即要求：即，即，换句话说，为正交矩阵。变换矩阵为正交矩阵的又称为正交变换。几何变换如旋转、反射及反演都是正交变换，因此概括宏观对称性的系统方法是考查物体在正交变换下的不变性。以下为几种简单的线性变换操作。(1)转动对于基矢为的晶胞，其基矢在直角坐标系下的表示为：即：对于格矢：有：考虑一转轴，其和直角坐标系的坐标轴之间夹角的余弦分别为：即有：绕该轴转动角后，设新坐标轴的单位矢量为，其在老坐标系的表示为：l1,m1,n1可利用如下方

3、法求出同样方法可以求出l2,l3,m2,m3,n2,n3。从而得到该操作的矩阵表示：或者设经过该转动操作后变成,则在新坐标中的表示仍然为：，则其在原坐标中的表示为：在晶胞基矢中的表示为：因此，若对于任意bx,by,bz,操作使得系数矩阵的矩阵元为整数，则该操作为该结构的对称操作，该系数矩阵为该对称操作的表示。(2)中心反演若取反演中心为坐标原点，经过中心反演后，任意一点变为，即：(3)镜象映射即以某个平面作为镜面的映象操作，若取Z=0的面为镜面则有：2、基本的对称操作由于晶格的周期性，其对称操作只可能有几种，而不象几何图形那样。设图1-5-1中B1，A，B，A1S是晶体中某一晶面（纸面）上的

4、一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。如果晶格绕通过格点A并垂直于纸面的u轴转动角后，能自身重合，则由于晶格的周期性，通过格点B也应该有一个转轴u。图1-5-1晶体中某一晶面的晶列（1）、转动角通过A处的u轴顺时针转过后，使B1点到点，同样，对于通过B处的u轴顺时针转过后，由于A1点是格点位置，因此，点原来应该存在格点。由于和平行，因此长度必须等于AB长度的整数倍，而，因此角只能取：（2）、转动角对于通过B处的u轴，A点到达点，对于通过A处的u轴，由于B点是格点，因此在点也应该存在一个格点。同样因为是长度的整数倍，因此只能取综上所述，若将转动角写成，则n只能取1、2、3、4、6。n称为

5、转动的次数。（a)n次旋转对称轴及其表示（b）n次旋转—反演轴及其表示若绕轴u旋转后再经过中心反演，晶体能自身重合，则称u为n度旋转—反演轴，表示为：是中心反演，用i表示，即：即镜象映射，用m表示，即：等于3次轴加i的效果总效果，这是由于由点1出发点得，再经中心反演得2；2经过转动得到，中心反演得3；3转动后得1，经反演得4；4转动反演后得5，5转动反演后得6。即由1出发，得2，6，4和5，3，1诸点。得到的6个点的分布具有3度轴和对称心i的对称性：由如图1和出发，分别得到两个四面体1234和，将1234转动90度后重合，再翻转则和自身重合。：等于3次轴加m的效果总效果。综上所述：晶体的宏观

6、对称性中只有以下8种基本的对称操作：1，2，3，4，6，i，m，和。这些基本对称操作组合起来，得到32对于晶体的微观对称性，对称操作中还必须包括平移，因此又有：种不包括平移的宏观对称类型。（c）n度螺旋轴一个n度螺旋轴u表示绕轴每转后，再沿着该轴的平移个该方向的周期（l为小于n的整数）（d）滑移反映面一个滑移反映面表示经过该面的镜象操作后，再沿平行该面的某个方向平移的距离（为该方向的周期矢量，n为2或4），晶体中的原子和相同的原子重合。(a)和（b）类对称操作可以导出32种点群。这32种点群对应晶体32种宏观的操作性，再加上（c）和（d）类对称操作，就可以导出230种空间群，每一种空间群对应

7、一种特殊的晶格结构。3、群的基本概念：群是满足下列操作规则的元素的集合，该操作规则又称为群公理。（1）、闭合性任意两元素的操作的结果仍然属于该集合。（2）、单位元素存在单位元素，使得任意元素和其的操作等同于该元素。（3）、逆元素任何元素都存在一对应元素，使得两者的操作等同于单位元素。（4）、结合律元素之间的操作满足结合律§1-6点群32个点群：C1群：只含一个不动操作元素。回转群：只含有一个旋转轴，记为，分别