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1、第一章第一节机动目录上页下页返回结束函数一、函数概念及其几种特性二、反函数三、复合函数四、基本初等函数、初等函数机动目录上页下页返回结束一、函数概念及其几种特性1.函数的概念在同一自然现象或技术过程中,往往同时有几个变量在变化,这些变量又不是相互独立的,而是遵循一定的变化规律相互联系的.例如：自由落体落下的距离S与时间t有如下关系:圆的面积S与半径R之间有下面关系:机动目录上页下页返回结束两问题的共性:指定了一个量的值,可按照相应的法则确定另一个量的值,这种对应关系称之为函数。下面对函数这一概念给出确切的定义.定义机动目录上页下页返回结束说明：机动目录上页下页返回结束⑷不同的对应法则表示不同
2、的函数,如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。⑸函数有三种表示法：图象法、表格法.⑹在解析法中,函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数,例如:圆的面积S与半径R的关系是、解析法一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称为分段函数。这种函数例如，注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数。机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性（1）函数的有界性设函数)(xfy=的定义域为D,区间DIÌ如果存在一个正数M,使得对于任意IxÎ,都有Mxf£
3、)(
4、,则称函数)(xf在I上有界,也称)(xf是I上的有界函数.否则,称函数)(xf在
5、I上为无界函数。机动目录上页下页返回结束(2)函数的单调性设函数)(xfy=的定义域为D,区间DIÌ,如果对于区间I内的任意两点21,xx,当21xx<时,)()(21xfxf<,则称函数)(xfy=在区间I上单调增加(如图2.1);当21xx<时都有)()(21xfxf>,则称函数)(xfy=在区间I上单调减少(如图2.2),单调递增或单调递减的函数,统称为单调函数。都有图2.1图2.2机动目录上页下页返回结束（3）函数的奇偶性设函数)(xfy=的定义域D关于原点对称，如果对任意DxÎ,恒有)()(xfxf=-,则称函数)(xf为偶函数;如果对任意DxÎ,恒有)()(xfxf-=-,则称)
6、(xf为奇函数,否则,称函数为非奇非偶函数。偶函数图象关于y轴对称.奇函数图象关于原点对称,机动目录上页下页返回结束(4)函数的周期性设函数)(xfy=的定义域为D,若存在一个正数0¹T,使得对于任意DxÎ,必有Daxα并且使恒成立,则称)(xf为周期函数,a称为函数)(xf的周期。如xysin=是以p2为周期的函数(如图2.4)如图2.3图2.3周期函数的周期通常是指它的最小正周期。说明：图2.4机动目录上页下页返回结束二、反函数设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W.因为W是函数值组成的数集,所以在W内任取一个数值y=，D内必定有数值x=,使成立.一般地,对于任一数值y对应,这个x适
7、合关系,D内至少可以确定一个x与y如果把y看作自变量,把x看作因变量,那么按照函数的定义,就可得到一个新函数,称这个新的函数为函数的反函数,记作机动目录上页下页返回结束三.复合函数如：在电学中,电压一定,功率IUIfP==)(其中I称为中间变量。一般地：设)(ufy=,而)(xuj=,且函数)(xj的值域与函数)(uf的定义域的交集不空,那么y通过u的联系也是自变量x的函数,我们称y是x的复合函数记为)]([xfyj=,它是由函数)(ufy=与)(xuj=复合而成的复合函数,其中u称为中间变量,电流复合与)(Rg而成的复合函数,则例如：①由函数uy=),0[+¥、xu+=1),(+¥-¥可以
8、构成复合函数xy+=1②函数uylg=),0(+¥与2xu-=),(+¥-¥不能构成复合函数。是由机动目录上页下页返回结束四、基本初等函数、初等函数1．基本初等函数①幂函数：(a为常量)②指数函数：xay=(1,0¹>aa)③对数函数：xyalog=(1,0¹>aa)④三角函数：xycsc=xy,sec=xy,cot=xy,tan=x,cos=yxy,sin=⑤反三角函数：xarcycot=xy,arctan=xy,arccos=xy,arcsin=统称为基本初等函数6常数函数：机动目录上页下页返回结束2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次复合并能用一个解析式表示的函数,称为
9、初等函数。又如2321+=+xxey等都是初等函数。如îíì<³+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函数。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+=,分段函数一般不是初等函数注意：是初等函数。îíì<-³=0,0,xxxx而所构成，运算
