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《重点考点___根的判别式应用综述.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、判别式应用综述一元二次方稈根的判别式是初屮数学学习的重点，是解数学题的重要工具，也是齐地屮考的必要知识点。木文列举屮考涉及到的常见题型及解法献给读者，供学习参考。—元二次方稈ax'+bx+c=O(aHO)的根的判别式△=b2—4ac有性质：%1AlOO方程有两个不相等的实数根；%1△二0O方程有两个相等的实数根；%1△V0O方程没有实数根。一、不解方程判定方程根的情况例1关于x的方程X2—kx+k—2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定解：A=(-k
2、)2-4(k-2)=k2-4k+8=(k-2)2+4o显然，不论k取何值时总有(k-2)2+4>0。所以，方程总有两个不相等的实数根。故选A。例2设b^c互不相等且abcHO,求证：三个方程ax'+2bx+c=0,bx'+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0,不可能都有两个相等的实数根。证明：假设这三个方程都有两个相等的实数根，则△产4b2—4ac=0,A2=4c2-4ab=0,A3=4a2—4bc=0o将这三式左右两边分别相加粥理，得a24~b2+c2—ab—ac—bc=Oo再两边同乘以2后配方，得(
3、a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0o所以a=b=co这与题设a、b、c互不相等矛盾，故假设不成立，即命题成立。二、确定参数的取值范围例3已知关于x的一元二次方程(m2-l)x2-(2m-l)x+l=0(m为实数)的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。c[1解：设方稈•两根为Xi、X2，则X1+X2=,X
4、X2=―;0m-1-1又—+—>0,即、+'=2m_l,解得m>l。x2x}x22由题设易得加'一1H0,A=[-(2m-I)]2-4(m2-l)>0.解得mW仝且m工±1。4故m的取值范围
5、是丄0,关于x的方程x2-(m-2n)x+-mn有两个相等的正实数根,求一的4n值。解：•・•给定的方程有两个相等的正实数根，：•A=[—(m—2n)]2—4X—mn=O□解得m=4n或m=n。4又由根与系数的关系，得m—2n>0和-mn>Oo4当m=4n时,符合题意;当m=n时,m—2n=—n>0,即nVO,这与已知n>0矛盾。：•m=n舍去。故—=4©n例5判断是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-l)x+1二
6、0有两个实数根。若存在，请求岀m的值；若不存在，请说明理由。解：由题意得，°解得mW丄且mHO。而在此范围内的非^A=[-(2m-l)]2-4m2>0.4负整数不存在，故不存在符合题意的非负整数m。四、判断二次三项式能否分解因式例6k为何值时，x2-2k(x-4)-15是完全平方式？解：X2—2k(x—4)—15=X2—2kx+8k—15,原式为完全平方式,即方程x2—2kx+8k—15=0有两个相等的实数根,只须△=(-2k)2-4(8k-15)=0,即k2-8k+15=0o解得k(=3,k2=5<,故
7、当k=3或k=5时，原式是完全平方式。例7已知k为非正数，试判断二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内能否分解因式。解：假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即3x2-4x+2k=3(x-xi)(x-x2),则方程3x2—4x+2k=0有两个实数根。2有厶二(一4)2—4X3X2k20,解得o因已知的k值在此范囤内，所以已知式在实数范囤内能分解因式。五、讨论方程有理根的问题例8m为有理数，讨论k为何值时，方程x2+4(l—m)x+3m2—2m+4k=0的根总为有理数。解：△二[4(1—m)]2—4(3亦
8、一2m+4k)=4(m‘一6m—4k+4)。要使原方程的根总为有理数，△必须为完全平方式，即需代数式y二n?—6m—4k+4为完全平方式。此时y的判别式△尸0。即厶i=(—6)2—4(—4k4-4)=0,解得k=——□4故当&一-时，原方程的根总为有理数。4六、求代数式的值或取值范围例9已知ax+by—2c=0,ab—c2>0o求证：xy的值小于1。证明：令xy=m,由题意，ax+by=2c,ax•by=tnabo故ax、by是关于t的方程t2—2ct+mab=0的两个实数根。可知△=4c?—4mabN0
9、。由ab—c2>0,得abHO且ab>c2^0o・・・—
