《集合与关系》PPT课件.ppt

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1、第三章集合与关系为什么要研究集合？3-1集合的概念和表示方法定义(集合set)：把具有共同性质的一些对象汇集成一个整体，就构成一个集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)用大写英文字母A,B,C,…表示集合用小写英文字母a,b,c,…表示元素aA：表示a是A的元素，读作“a属于A”aA：表示a不是A的元素，读作“a不属于A”3-1.1有关集合的概念n元集(n-set):有n个元素的集合称为n元集。

2、A

3、:表示集合A中的元素个数,A是n元集

4、A

5、=n0元集:记作1元集(或单元集

6、),如{a},{b},{}…有限集(finiteset):

7、A

8、是有限数,

9、A

10、<,也叫有穷集，否则为无限集。3-1.2集合的表示方法通常使用“列举法”和“叙述法”两种方法来给出一个集合（1）列举法(roster)列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如A={a,b,c,d,…,x,y,z}B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}集合中的元素不规定顺序C={2,1}={1,2}集合中的元素各不相同C={2,1,1,2}={2,1}3-1.2集合的表示方法（2）叙述法(d

11、efiningpredicate)用谓词P(x)表示“x具有性质P”，用A={x

12、P(x)}表示元素具有性质P的集合A，如果P(b)为真，那么bA，否则bA。例如P1(x):x是英文字母A={x

13、P1(x)}={x

14、x是英文字母}={a,b,c,d,…,x,y,z}P2(x):x是十进制数字B={x

15、P2(x)}={x

16、x是十进制数字}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}两种表示法可以互相转化例如：E={2,4,6,8,…}={x

17、x>0且x是偶数}={x

18、x=2(k+1)，k为非负整数}={

19、2(k+1)

20、k为非负整数}两个集合相等的外延性原理：两个集合A、B是相等的，当且仅当它们有相同的成员，记作A=B；否则记作AB。集合的元素还可以是一个集合。例如：S={a,{1,2},p,{q}}3-1.3数的集合N：自然数(naturalnumbers)集合N={0,1,2,3,…}Z：整数(integers)集合Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}Q：有理数(rationalnumbers)集合R：实数(realnumbers)集合C：复数(complexnumbers)

21、集合3-1.4集合之间的关系子集、相等、真子集；空集、全集；幂集、n元集、有限集；（1）子集[定义]子集(subset)：设A、B是任意两个集合，如果A的每一个元素是B的成员，则称A为B的子集,或说A包含于B,或说B包含A,记作AB，或BA。AB(x)(xAxB)若A不是B的子集,则记作ABAB(x)(xAxB)证明ABx(xAxB)成立[证明]：根据定义AB(x)(xAxB)则AB(x)(xAxB)(x)((xA)(xB)

22、)(x)((xA)(xB))(x)(xAxB)子集(举例)设A={a,b,c},B={a,b,c,d},C={a,b},则AB,CA,CB定理3-1.1集合A和集合B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。A=BABBAA=B(x)(xAxB)[证明]A=BABBA(=定义)(x)(xAxB)(x)(xBxA)(定义)(x)((xAxB)(xBxA))(量词分配)(x)(xAxB)(等价式)包含()的性质

23、：1．AA（自反性）证明:AA(x)(xAxA)T2．若AB,且AB,则BA（反对称性）3．若AB,且BC,则AC（传递性）证明:AB(x)(xAxB)x,xAxB(AB)xC(BC)(x)(xAxC),即AC.（2）真子集[定义]真子集(propersubset)如果集合A的每一个元素都属于B，但集合B至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，记作AB。ABABABAB(x)(xAxB)(x)(xBx

24、A)AB的含义：AB(ABAB)(定义)(AB)(A=B)(德摩根律)x(xAxB)(A=B)(定义)AB(A=B)含义：A不是B的子集或者A和B相等。真包含()的性质1．AA（反自反性）证明:AAAAAATFF.2．若AB,则BA（反对称性）证明:(反证)设BA,则ABABABAB(化简)BABABABA所以ABBAA