离散件11-群和环.ppt

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1、群和环第一节运算与代数系统一、运算的概念1。定义：设S是一个非空集合，映射f：SnS称为集合S上的一个n元运算。本章只考虑一元和二元运算，即定义中的n是1或2。2。运算表示①一元运算主要涉及补运算，并使用习惯的表达方式（如a）。②设是二元运算，它可以用谓词定义，也可以用运算表定义。在表达式中二元运算：S2S使用中缀式表示（如xy）。下面是用运算表定义运算的例子。设S={a，b，c，d}，定义二元运算“”如下：abcdaacbdbbdcaccadbddbac3。二元运算的性质设*是集合S上的二元运算，①封闭性：a、b

2、S，a*bS。②交换性：a、bS，a*b=b*a。③结合性：a、b、cS，(a*b)*c=a*(b*c)。④幂等性：aS，a*a=a。设*和是集合S上的二元运算，⑤分配性：a、b、cS，a*(bc)=(a*b)(a*c)，a(b*c)=(ab)*(ac)，⑥吸收性：a、bS，a*(ab)=a，a(a*b)=a。二、代数系统1。定义：由非空集合S及定义在其上的若干运算1、2、...、n构成的系统S，1、2、...、n称为代数系统。例：整数集合上Z的代数系统Z，+、Z，

3、等，实数集合R上的代数系统R，+、R，+，等，幂集合2A上的代数系统2A，、2A，等。主要考虑含一或两个二元运算的代数系统。2。代数系统中的特殊元素设S，*是含一个二元运算的代数系统，①eS，如果aS，a*e=e*a=a，就称e是系统的幺元(或单位元)。②S，如果aS，a*=*a=，就称是系统的零元。③aS，如果a*a=a，就称a是系统中的幂等元。例：在Z，+中，0是幺元也是幂等元，无零元；在Z，中1是幺元，0是零元；在2S，中S是幺元，是零元；2S，中是

4、幺元，S是零元。定理：如果代数系统S，*中存在幺元，则幺元是唯一的；如果存在零元，则零元是唯一的。证明：设e1和e2是代数系统S，*的两个幺元，根据幺元的定义，e1=e1*e2=e2。同样，设1和2是代数系统S，*的两个零元，根据零元的定义，1=1*2=2。注意，在同一个集合上定义不同的运算，一般具有不同的幺元和零元。例如，Z，+的幺元是0，没有零元。而Z，有幺元1和零元0。④设代数系统S，*存在幺元e。aS，如果存在bS使a*b=b*a=e，就称b是a的逆元。例：在Z，+中，a的逆元

5、是-a；在Z，中只有1和-1有逆元；在2S，中只有S有逆元。定理：设S，*是可结合的、含有幺元e的代数系统，如果元素a存在逆元，则逆元是唯一的。证明：设b和c是S，*中元素a的两个逆元，那么b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c。a的逆元记为a-1。3。代数系统S，*的分层①如果S，*的运算满足封闭性，则称S，*为广群；②如果S，*为广群，且运算满足结合性，则称S，*为半群；③如果S，*为半群，且运算含有幺元，则称S，*为含幺半群；④如果S，*为含幺半群，且每个元

6、素都有逆元，则称S，*为群。作业：习题11.11、2(吴子华)or习题十四4、5(冯伟森)附加题：确定2S，、2S，、2S，各属于哪一个层次？第二节半群一、常见半群的例子1。实数集含幺加半群R，+：封闭、可结合、有幺元0。2。实数集含幺乘半群R，：封闭、可结合、有幺元1。3。正整数集加半群Z+，+：封闭、可结合、无幺元。4。整数集模n含幺加半群Zn，：封闭、可结合、有幺元[0]。5。整数集模n含幺乘半群Zn，：封闭、可结合、有幺元[1]。6。在有限字母表上的字符串集*中定义运算“

7、”，（称为字符串的连接）。例如，设=“abc”，=“+*”，则=“abc+*”。把不含任何字符的字符串称为空串，记为。那么，*，满足含幺半群的定义，称为字含幺半群。二、半群中元素的幂由于半群S，具有结合性，元素自身运算的表达式可以用幂的形式表示出来。设aS，定义：a2=aa，am+1=ama如果系统含有幺元e，规定a0=e。根据幂的定义，容易得到aman=am+n(am)n=amn当运算为“+”时（即为可交换运算时）a的n次幂记为na。因此，对应于上面两式有ma+na=(m+n)a,n(ma)=

8、(nm)a三、定理有限半群S，必有幂等元，即存在aS，a2=a。证明要点：如果S中有幺元e，则e就是幂等元。如果S中没有幺元，任取bS，由S的有限性，必有bi=bj=bj-ibi(j>i)因此，对任何t>ibt=bj-ibt=b2(j