数学建模、回归分析.pdf

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1、5回归分析∑回归分析是研究一个或多个随机变量与另一些变量之间的关系的统计方法。应用回归模型可以进行因果关系分析、预测、优化与控制等多种目的。∑回归分析分类：∑一元回归分析：m=n=1；2yfx=+()ε,~(0,)εσN∑模型：∑多元回归分析：m=1,n=k>1；2yfxxx=+(,,,,,,,),~(LLβββεεN0,)σ∑模型：12kp12∑多重回归分析：m>1，n>1；∑模型：YFmk×11=(,,,,,)xxLLβ1βεp+∑回归分析的方法与步骤：y选定回归函数；y对回归函数中的位置参数β12,,,β

2、βLp进行估计（最小二乘方法）；y检验有关参数的假设（假设检验）；y建立回归方程进行预测和控制。例2:水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x、x、x、x1234有关，今测得一组数据如下，试确定一个线性模型.12345678910111213序号x17111117113122111110x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.59

3、3.1115.983.8113.3109.4ybbxbxbxbx=++++011223344n2Qbbbbb(,,,,)01234=++++−∑(bbx011iiiibx22bx33bx44yi)i=11.线性关系是否显著？如果显著，则建立线性模型。2.当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间?3.是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？4.y还受其他因素影响吗?如x1*x2,y,xt-1t-1线性关系的显著性检验1n⎧ybbˆ=++ˆˆˆxbx++Lbxˆ10111221kk1记：yy=

4、∑i⎪ni=1⎨Ly=94.4231⎪⎩ybbˆ=++ˆˆxbˆx++Lbˆxnn01122nkkn回归平方和：残差平方和：nn2Qy=−()yˆ2Uy=−∑()ˆiy=2677.9ei∑i=47.86i=1i=1Uk/若线性关系不显著，则：FF=(,kn−−k1)Qnk/(−−1)e2677.9/4若FFknk<−(,−1)F==111.481−α47.86/(1341)−−则线性关系不显著，反之显著。F(4,1341)−−=2.806410.1−线性关系的拟合性检验(R检验)2Qnke/(−−1)247.

5、86/(1341)−−R=−1R==0.9736()UQn+/(−1)(2677.947.86)/(131)+−e2∑R越接近1，拟合度越高，则解释变量对被解释变量的解释程度就高，可以推测模型总体线性关系成立；反之，就不成立。但这只是一个模糊的推测，不能给出一个在统计上严格的结论，只作参考。刚才的显著性检验才是严格的结论。Uk/2n−1F=R=1−Qnke/(−−1)n−k−1+kF∑经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据模型就可以得到被解释变量的预测值为……值”。这种说法是不科学的，也是统计模型无法达

6、到的。如果一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则为0；如果一定要回答以100%的置信水平处在什么区间中，那么这个区间是∞。∑在实际应用中，我们当然也希望置信水平越高越好，置信区间越小越好。如何才能缩小置信区间？y（1）置信水平与置信区间是矛盾的。但可增大样本容量n，使临界值t减小。y（2）更主要的是提高模型的拟合优度，以减小残差平方和。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为0。y（3）提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分散，(X’X)-1越小。mat

7、lab多元线性回归y=β+βx+...+βx011pp[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)置信区间回归系数的区间估计⎡βˆ⎤残差⎢0⎥⎡Y1⎤⎡1xx...x⎤ˆ11121p⎢β1⎥⎢Y⎥⎢⎥b=21xx...x⎢...⎥Y=⎢⎥X=⎢21222p⎥⎢⎥⎢...⎥⎢...............⎥ˆ⎢⎣βp⎥⎦⎢⎥⎢⎥⎣Yn⎦⎢⎣1xn1xn2...xnp⎥⎦[R,F,P]-----相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-α（k，n-k-1）时拒绝H0，F

8、越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0，回归模型成立.引例1的解1、输入数据：x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';X=[ones(16,1)x];Y=[8885889192939395969897969899100102]';2、回归分析及检验：[b,bint,r,rint,stats]=regr