简单的优化模型.pdf

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1、第五讲简单的优化模型在实际生活中，特别是在工程技术、经济管理和科学研究领域中存在着很多优化模型，如投资的成本最小、利润最大问题，邮递员的投递路线最短问题，货物的运输调度问题，风险证券投资中的收益最大，风险最小问题。优化模型大致的可以分成两大类：无约束优化模型和约束优化模型。无约束优化模型即求一个函数在定义域内的最大值或最小值，这类问题往往可以使用微分的方法得到最终的结论，如一元及多元函数的最值归结为求函数的驻点；约束优化模型即求函数在一些条件约束下的最优解，对于等式约束的问题，可以使用Lagrange乘数法求解，但是在数学建模中得到的优化模型往往不是等式约束问题，而是诸如不等式约束甚至更

2、复杂的数学规划问题，这些问题需要使用Matlab等科技计算软件才能解决。数学规划问题包括线性规划、整数规划、非线性规划、目标规划、多目标规划以及动态规划等类型的问题。不管是什么类型的优化问题，在建模过程中需要解决的问题，也是建模的基本步骤为：（1）确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）（2）确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）（3）确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）（

3、4）模型求解（使用数学工具或数学软件求解）（5）结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等）本讲将主要介绍使用微分法可以解决的优化模型。模型一、生猪的出售时机问题：饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析：（1）目标：选择最佳的生猪出售时机的标准是使得生猪出售的利润最大。因此目标函数应当是利润函数。利润=收益-成本。影响收益的因素有生猪出售时的体重及生猪出售时的价格，成本完全是由生猪饲养的天数决定。在影响收益的两个因素中，生猪

4、的体重随着饲养天数的增加而增加，而价格却随着饲养天数的增加而减少，这是一对矛盾体，这样也就决定了最终存在一个最佳的出售时机。（2）决策变量：生猪饲养的天数t。1（3）约束条件：关于天数的约束，t≥0。（4）求解的方法：虽然有t≥0的约束，但是总的来说该模型最后可以看成是无约束的优化问题，因此可以使用微分法解决。模型记号说明：r—生猪体重每天的增加量t—生猪饲养的天数w—生猪的当前重量0wt)(—t天时生猪的重量g—价格每天的减少量p—生猪的当前价格0p(t)—t天时生猪的价格i—每天的投入R(t)—第t天生猪卖出时的收益Ct)(—第t天生猪卖出时的成本Q(t)—第t天生猪卖出时的利润，模

5、型建立：（1）t天后猪的重量：w(t)=w+rt0（2）t天后猪的价格：p(t)=p−gt02（3）第天生猪卖出时的收益：tR(t)=w(t)p(t)=−rgt+(rp−gw)t+wp0000（4）第天生猪卖出时的成本：tCt)(=it2（5）第天生猪卖出时的利润：tQt)(=Rt)(−Ct)(=−rgt+(rp−gw−)ti+wp0000利润的最大化归结为下面的优化问题：maxQ(t)利用微分法可以求解该问题rp−gw−i00当t=时，利润达到最大。2rg在该问题中p=,8w=80,i=4，r,g为估计值r=,2g=1.0，代入上公式可以得到最00佳出售天数为10天。模型分析：（1）敏

6、感性分析敏感性分析就是分析因素的变动对结果的影响，通常使用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。如函数z=g(x,y)中，z对x的敏感度定义为2∂(lnz)x∂z=。∂(lnx)z∂x40r−60在本模型中t=,r≥5.1，因此有t对r的敏感度为rr6060St,(r)==，2tr40r−60当r=2时，敏感度为3，这表明生猪每天的体重增加1%，出售的时间将推迟3%。g33类似地，t对g的敏感度为St,(g)=(−)=−，当g=1.0时敏感度为-3，2tg3−20g这说明生猪的价格每天的降低量增加1%，出售时间将提前3%。（2）稳健型分析在此模型中假设生猪体重的增加和价格的降低都是常数，这

7、是对现实情况的简化，实际的模型应当考虑非线性函数形式和不确定性情形。这样需要讨论当w,p时一般的t的函数情况。此时有Q(t)=p(t)w(t)−4t−640，按照微分法，可以知道最优解应当满足p′t)(w(t)+p(t)w′t)(=4，即出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止。模型二森林救火模型问题重述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考