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1、GARCH模型与应用简介(2006,5)0.前言……………………………………………..21.GARCH模型………………………………………….72.模型的参数估计………………………………………163.模型检验………………………………………………274.模型的应用……………………………………………325.实例……………………………….……………………426.某些新进展……………………….…………………...46参考文献……………………………………………….5010.前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)考察严平稳随机序列{yt},且E
2、yt
3、
4、<∞.记其均值Eyt=μ,协方差函数γk=E{(yt-μ)(yt+k-μ)}.其条件期望(或条件均值):E(yt⏐yt-1,yt-2,…)≡ϕ(yt-1,yt-2,…),(0.1)依条件期望的性质有Eϕ(yt-1,yt-2,…)=E{E(yt⏐yt-1,yt-2,…)}=Eyt=μ.(0.2)记误差(或残差):et≡yt-ϕ(yt-1,yt-2,…).(0.3)由(0.1)(0.2)式必有:Eet=Eyt-Eϕ(yt-1,yt-2,…)=Eyt-Eyt=0,(0-均值性)(0.4)及22Eet=E[yt-ϕ(yt-1,yt-2,…)]2=E
5、{(yt-μ)-[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]}(中心化)22=E(yt-μ)+E[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]-2E(yt-μ)[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]=γ0+Var{ϕ(yt-1,yt-2,…)}-2EE{(yt-μ)[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]⏐yt-1,yt-2,…}(根据Ex=E{E[x⏐yt-1,yt-2,…]})=γ0+Var{ϕ(yt-1,yt-2,…)}-2E{[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]E[(yt-μ)⏐yt-1,yt-2,…]}2(再用E[x×ψ(yt-1,yt-2,…)⏐yt-
6、1,yt-2,…]=ψ(yt-1,yt-2,…)E[x⏐yt-1,yt-2,…];并取x=(yt-μ),ψ(yt-1,yt-2,…)=[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ];由(0.1)(0.2)可得)2=γ0+Var{ϕ(yt-1,yt-2,…)}-2E[ϕ(yt-1,yt-2,…)-μ]=γ0-Var{ϕ(yt-1,yt-2,…)}.(0.5)即有:γ0=Var(yt)=Var(ϕ(yt-1,yt-2,…))+Var(et).(0.6)此式表明,yt的方差(=γ0)可表示为:回归函数的方差(Var(ϕ(yt-1,yt-2,…)),与残差的
7、方差(Var(et))之和.下边讨论et的条件均值与条件方差.为了符号简便,以下记Ft-1={yt-1,yt-2,…}.首先考虑et的条件均值:E(et⏐Ft-1)=E{yt-ϕ(yt-1,yt-2,…)⏐Ft-1}=E(yt⏐Ft-1)-E{ϕ(yt-1,yt-2,…)⏐Ft-1}=ϕ(yt-1,yt-2,…)-ϕ(yt-1,yt-2,…)=0.(0.7)再看条件方差:2Var(et⏐Ft-1)=E{[et-E(et⏐Ft-1)]⏐Ft-1}2=E{et⏐Ft-1}(用(0.7)式)2≡S(yt-1,yt-2,…).(0.8)32此处S(
8、yt-1,yt-2,…)为条件方差函数.注意,et的条件均值是零,2条件方差是非负的函数S(yt-1,yt-2,…),它不一定是常数!依(0.3)式,平稳随机序列{yt}总有如下表达式:yt=ϕ(yt-1,yt-2,…)+et,(0.9)其中ϕ(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.{et}可称为新息序列,与线性模型的新息序列不同,除非{yt}是正态序列.顺便指出,满足(0.4)式的{et}为鞅差序列,因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{yt}是严平稳随机序列,且E
9、yt
10、<∞,上述推演是严格的,从而{et}是严平稳的鞅
11、差序列.当{yt}有遍历性时,它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念可不必深究.现在将et标准化,即令εt≡et/S(yt-1,yt-2,…).则有,E(εt⏐Ft-1)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)⏐Ft-1]={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[et⏐Ft-1]=0.(依(0.7)式)(0.10)以及222E(εt⏐Ft-1)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)⏐Ft-1]22={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[et⏐Ft-1](用(0.8))22={S(yt-1,yt-2,…)}/{S(yt-1,yt-2,…)}=
12、1.(a.s.)(0.11)4由此可见,{εt}也是平稳鞅差序列,与{et}相比,{εt}的条件方差为常数1.于是(0.9)式可写为:yt=ϕ(yt-1,yt-2,…)+S(yt
