有限元法基础与程序设计内容.pdf

《有限元法基础与程序设计内容.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第1页第章平面问题的常应变单元弹性力学经典解法与有限元法的不同特点弹性力学经典解法弹性力学的任务是研究弹性体在外力作用下而产生应力、应变和位移的规律。解弹性力学问题，必须考虑平衡微分方程、几何方程、物理方程和边界条件。问题归结为偏微分方程的边值问题。以平面弹性力学问题为例，弹性力学的基本方程共个：个平衡方程，个几何方程，个物理方程。这个基本方程中包含个未知函数，即：个位移分量，个应变分量个应力分量。基本方程的数目等于未知函数的数目。弹性力学的任务，就是在适当的边界条件下，从基本方程中求解这些未知函数。弹性力学问题的基本解法有三种，即按位移求解、按应力求解和混合求解。用弹性力学经典解法解决实

2、际问题的主要困难在于求解偏微分方程的复杂性。区域内各点的位移、应变、应力都是待求的，因此未知数有无穷多个。所求解满足弹性力学基本方程的位移函数、应变函数、应力函数的表达式要覆盖整个区域，而且还要满足边界条件，因此求解这样的函数形式是十分困难的。有限元法有限元法是近年来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的一种数值方法。它具有极大的通用性和灵活性，可以用来求解弹性力学中的各种复杂边界问题。用有限元法分析弹性力学问题，首先是把原来连续的弹性体离散化。如图所示的悬臂梁，采用最简单的三角形单元对弹性体进行分割，形成一个如图所示的单元集合体。图悬臂梁弹性体和有限元模型第2页对于每个三角形单元，可选择最

3、简单的线性函数为位移模式，即分片插值的方法。单元中任一点的位移可通过个结点的位移进行插值计算。因此，整个区域中无穷多个未知位移量可以用有限多个结点位移来表示。这样就避免了求解覆盖整个区域的位移函数的困难。用三角形单元的结点位移，可以表示单元中的应变、应力、结点力。将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解以结点位移为未知量的线性方程组。有限元法中求解这种线性方程组比弹性力学经典解法中求解偏微分方程要容易得多。基本未知量和基本方程的矩阵表示在有限元法中，为了简洁、清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于应用计算机进行实际计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。在平面

4、问题中，物体所受的体积力可用列阵表示为式中上标表示矩阵转置。同样，物体所受的表面力可用列阵表示为一点的位移可用列阵表示为一点的应变分量可用列阵表示为一点的应力分量可用列阵表示为由几何方程，式（所表示的应变分量可以写为（弹性力学中，平面问题可划分为平面应力问题和平面应变问题。对于弹性力学的平面应力问题，物理方程可用矩阵形式表示为（）式中、分别为弹性模量和泊松比。上式可简写为（）其中（第3页称为平面应力问题的弹性矩阵。对于平面应变问题，物理方程也可以用式（表示，但需将式（所示的弹性矩阵中的换为换为位移模式图所示弹性体用三角形单元进行离散以后，取任一单元进行分析。图表示一个典型的三结点三角形单元

5、，其结点按逆时针方向排列。每个结点位移在单元平面内有两个分量：式中为结点的沿轴和轴方向的位移分量。记号）表示其他结点的位移可以按下标轮换得到。一个三角形单元有个结点，共有个结点位移图三角形单元的结点位移分量。它们可用列阵表示为（）单元体中任意一点的位移分量是，的函数。选择最简单的线性函数作为位移模式，即（）式中，，为待定常数，可以由单元的结点位移确定。设结点，，的坐标分别为（（，），结点位移为（（，）、（，）。将它们代入式（，有（）联立求解上述公式左边的个方程，可以求出待定系数为（式中为三角形单元的面积，（）为使求得面积的值为正值，结点的次序必须是逆时针转向，如图所示至于将哪个结点作为起始

6、结点，则没有关系。将式（）代入式（的第一式，整理后得第4页（同理可得（式中（如令（则位移模式（可以简写为（式中，是坐标的函数，反映了单元的位移形态，因而称为位移函数的形函数。其性质将在下面进一步讨论。由式（和（，单元中一点的位移可用结点位移表示为下列矩阵形式式中称为单元形函数矩阵，其维数为，进一步可写为分块形式（）其中子矩阵（式中为阶单位矩阵。根据形函数的定义式（，容易证明形函数具有以下性质：形函数在结点上的值等于，在其他结点上的值等于，即（，）（，）（，）对于也有同样的表达式。在单元中任一点，三个形函数之和等于，即，（，）（，）在三角形单元边界上一点（，，有形函数公式）形函数在单元上的面

7、积分和边界上的线积分公式为（式中为边的长度。第5页单元应变和应力有了单元的位移模式，就可以应用几何方程求得单元的应变。将式（）代入式，得到应变和结点位移的关系式（上式简写为（式中为单元应变矩阵，其维数为。它可以写成分块形式其中子矩阵（式是用结点位移表示的单元应变的矩阵方程。由于，与无关，都是常量，因此矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是矩阵与，结点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。在平面问题的