高考数学专题讲座——函数与导数.doc

《高考数学专题讲座——函数与导数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题讲座——函数与导数1.已知函数(1)若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；(2)若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得（2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得此题融三次函数、导数、二次函数等问题于一体，在方法上主要是利用函数的单调性、区间最值等问题。2．（本小题满分12分）设函数f(x)＝

2、x－m

3、－mx，其中m为常数且m<0。（1）解关于x的不等式f(x

4、)<0；（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.解：（1）由f(x)<0得，

5、x－m

6、

7、x<}当m=－1时，不等式解集为{x

8、x<－}当－1

9、0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0。故f(x)存在最小

10、值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min=f(m)=－m2.注：含参数的不等式要注意分类讨论3．已知函数（1）若，求函数的值域；（2）若，，试确定与的大小，并加以证明；（3）若，，，试确定与的大小，解：（1）当时，，而在连续，则在上是增函数，，即函数的值域为（2）令，则，∴，由且，得，即当时，，时，，而在上是连续的，则为的最小值，，从而当时，，因此，当且仅当时等号成立；（3）当为偶数时，；当为奇数时，，证明过程与（2）相同，从略。4．已知函数f(x)=x2+lnx.（I）求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；（II）求证：在区间[1，+∞上，函数f(x)的图象

11、在函数g(x)=x3的图象的下方；（III）求证：[(x)]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）.解：（I）易知f(x)在[1，e]上是增函数.∴f(x)max=f(e)=e2+1；f(x)min=f(1)=.（II）设F(x)=x2+lnx－x3，则(x)=x+－2x2=.∵x＞1，∴(x)＜0，故F(x)在(1，+∞)上是减函数，又F(1)=－＜0，∴在(1，+∞)上，有F(x)＜0，即x2+lnx＜x3，故函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.（III）当n=1时，不等式显然成立；当n≥2时，有：[(x)]n－(xn)=(x+)n－(xn+)=xn－1

12、·+xn－2·+…+x·=xn－2+xn－4+…+x·=[(xn－2+)+(xn－4+)+…+(+xn－2)]≥(2+2+…+2)=2n－2.注：第二问可数学归纳法证5.已知函数（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）当时，求证:（Ⅰ）解：,令得当时，当时，又当且仅当时，取得最大值0（Ⅱ）证明：由（1）知又6．已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点.(1)若点的坐标为,求证：;(2)若函数的图象不通过坐标原点,证明直线与函数的图象上点处切线垂直.证：(1)设Q(x,f(x))为y=f(x)上的动点，则

13、OQ

14、2=x2+f2(x)，设F(x)=x2+f2(x),则

15、F'(x)=2x+2f(x)f'(x)已知P为y=f(x)图形上距离原点O最近的一点，∴

16、OP

17、2为F(x)的最小值，即F(x)在x=a处有最小值,亦即F(x)在x=a处有极小值∴F'(a)=0，即2a+2f(a)f'(a)=0(2)线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f'(a)由(1)知f(a)f'(a)=–a，∴图象不过原点，∴a¹0，∴f'(a)=–1∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.7.如图所示，曲线段OMB是函数轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交轴于P，交线段AB于Q，（1）试用表示切线PQ的方程；（2

18、）设△QAP的面积为是单调递减，试求出的最小值；（3）横坐标的取值范围。解:（1）（2）令由得上单调递减，故（3）当单调递增，得，则ΔQAP的面积S点的横坐标则P点横坐标的取值范围为.8.用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）解:设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为高为,设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边上的高令当有最大值.这时容器