高考数学导数专题讲座

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1、2008年复课备考《导数》(文科)专题讲座一、基础训练:1.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.解:曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,-),围成的三角形面积为,选A。2.设在内单调递增,,则是的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:在内单调递增,则在上恒成立。;反之,,在内单调递增,选C。3.曲线在点(1,一3)处的切线方程是___________解:点(1,-3)在曲线上,故切线的∴切线方程为,即4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则    .解:令=0,得=2,=-2,=1

2、7,(3)=-1,(-2)=24,(2)=-8,所以,M-=24-(-8)=32。二、例题精讲:例1.设函数在及时取得极值。(1)求a、b的值;(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。解:(1),因为函数在及取得极值,则有,.即解得,.(2)由(1)可知,,.当时,;当时,;当时,.所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.因为对于任意的,有恒成立,所以 ,解得 或,因此的取值范围为.例2.设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为。(1)求,,的值;(2)求函数的单调递增区间;(3)求函数在上的最大值和最小值。解:(1)∵为奇函数,∴即∴∵的最小值

3、为∴,又直线的斜率为,因此,∴,,.(2),,列表如下:极大极小  所以函数的单调增区间是和(3)∵,,∴在上的最大值是,最小值是.例3.已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.(1)证明:;(2)求z=a+2b的取值范围。解:求函数的导数.(1)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根.所以当时,为增函数,,由,得.(2)在题设下,等价于 即.化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线:所围成的的内部,其三个顶点分别为:.在这三点的值依次为.所以的取值范围为.例4.设函数(),其中.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求函数的极大值和极小值。解:(1)当

4、时,,得,且,.所以,曲线在点处的切线方程是,整理得.(2),.令,解得或.由于,以下分两种情况讨论.若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且.若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且.例5.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.故长方体的体积为从而令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V

5、′(x)<0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3。例6.设函数.(1)求的最小值;(2)若对恒成立,求实数的取值范围.解:(1),当时,取最小值,即.(2)令,由得,(不合题意,舍去).当变化时,的变化情况如下表:递增极大值递减在内有最大值.在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,所以的取值范围为.例7.某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加

6、,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位:元,)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?解:(1)设商品降价元,则多卖的商品数为,若记商品在一个星期的获利为,则依题意有,又由已知条件,,于是有,所以.(2)根据(1),我们有.21200极小极大故时,达到极大值.因为,,所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大.三、反馈训练:1、设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1)求g(t)

7、的表达式;(2)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解:(1).由于,,故当时,达到其最小值,即.(2).列表如下:极大值极小值由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.2、已知函数在区间,内各有一个极值点.(1)求的最大值;(2)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.解:(1)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个

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