上海交通大学 矩阵理论 课件20110913.pdf

《上海交通大学 矩阵理论 课件20110913.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、矩矩矩阵阵阵乘乘乘法法法与与与分分分块块块矩矩矩阵阵阵、、、线线线性性性方方方程程程组组组与与与n维维维线线线性性性空空空间间间Fn1关关关于于于矩矩矩阵阵阵乘乘乘法法法1.1定定定义义义对于矩阵Am£n=(aij)m£n和Bn£k=(bij)n£k，可以定义乘法：XnAB´Cm£k=(cij)m£k;cij=ailblj:l=1也可以用“行向量”和“列向量”来表示矩阵的乘法。对于m£n矩阵A，分别用A和Ai表示其第j列和第i行，则有j0101A1A1BBA2CBA2BCBCBCC=AB=B..CB=B..C;@.A@.AAmAmBC=AB=A(B1;B2;¢¢¢;Bk)=(AB1;AB

2、2;¢¢¢;ABk)于是，Ci=AiB;C=AB:jj1.2乘乘乘法法法举举举例例例µ¶µ¶µ¶0xa11a12xa21xa22=00a21a2200µ¶µ¶µ¶a11a12xyxa11ya11=a21a2200xa21ya21矩阵乘法满足：²结合律：(AB)C=A(BC);k(AB)=(kA)B=A(kB)；²分配律：(A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+AC；但不满足交换律：AB6=BA:11.3AB=0意意意味味味着着着什什什么么么AB=0，则ABj=0，即：B的列向量是方程组Ax=0的解。同理，A的行向量是方程组yTB=0的解。1.4线线线性性性方方方程程程组组组什么情况

3、下Ax=b有解？µ¶x1Ax=(A1;A2)=x1A1+x2A2=bx2说明，列向量b是Aj的线性组合，r(A)=r(A;b)。2对对对矩矩矩阵阵阵的的的认认认识识识2.1关关关于于于方方方阵阵阵2.1.1行行行列列列式式式jAj或detA：n阶方阵A=(aij)的行列式。重要性质：²jABj=jAjjBj。2.1.2迹迹迹PntrA：A的对角线元素之和i=1aii。重要性质：²tr(AB)=tr(BA)（仅需两矩阵分别为m£n和n£m矩阵即可）；¤Pn2²tr(AA)=i;j=1jaijj。2.1.3逆逆逆矩矩矩阵阵阵余子式Mij：对n阶方阵A=(aij)去掉第i行第j列后所剩余的n-

4、1阶方阵的行列式。代数余子式A：(¡1)i+jM。ijij伴随矩阵adjA：n阶方阵(Aij)。重要性质：A(adjA)=(adjA)=jAjI:可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，记为A¡1。性质：²A¡1=1adjA；jAj²(AT)¡1=(A¡1)T；²(AB)¡1=B¡1A¡1；²jA¡1j=A¡1。22.2关关关于于于秩秩秩r(A)：矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数。一个非零矩阵A的秩为1,A是一个非零列矩阵与一个非零行矩阵的乘积：A=®¯T。该性质可用来计算矩阵的高次幂：mTmTm¡1TTm¡1A=(®¯)=®(¯®)¯=(¯®)A:对矩阵和与乘积的秩的估计：²r(A+B)·r(A)

5、+r(B)；²(Sylvester不等式)设A;B分别为m£p;p£n矩阵，则r(A)+r(B)¡p·r(AB)·minfr(A);r(B)g:2.3分分分块块块矩矩矩阵阵阵分块对角矩阵可记为01A1BACXnB2CB..C´A1©A2©¢¢¢©An´©Ai@.Ai=1An这种表示被称为矩阵的直和，每个子矩阵称为一个直和项。µ¶B11B12分块矩阵的乘法：A=A1©A2;B=，则B21B22µ¶µ¶A1B11A1B12B11A1B12A2AB=;BA=:A2B21A2B22B21A1B22A2注意：这里的A1B11等是矩阵的乘法，所以要注意两个矩阵要可以相乘。3齐齐齐次次次线线线性性性方

6、方方程程程组组组Ax=0的解的结构：®;¯是方程的两个解向量，¸2F，则®+¯和¸®也是方程的解。33.1线线线性性性相相相关关关、、、线线线性性性无无无关关关设S=f®;®;¢¢¢;®g是Fn的一组向量，如果线性方程组x®+x®+¢¢¢+12sa122xs®s=0仅有零解，则称向量组S是线性无关的，否则就称其是线性相关的。极大线性无关组：设S=f®;®;¢¢¢;®;¢¢¢g是Fn的一组向量，设其中部分12s向量M=f®i1;®i2;¢¢¢;®irg线性无关，且S中任何向量均能由M线性表示。则称M是S的一个极大线性无关组。向量组S的秩：M中向量的个数。矩阵的列向量组与行向量组的秩称为列秩

7、与行秩，它们等于该矩阵的秩。3.2齐齐齐次次次线线线性性性方方方程程程组组组的的的基基基本本本定定定理理理齐次线性方程组Am£nx=0的任何一个基础解系（解集的一个极大线性无关组）恰含n¡r(A)个解向量。4计计计算算算矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩4.1Gauss消消消元元元法法法²重排变换：交换第i行（列）与第j行（列）I¡Eii¡Ejj+Eij+Eji；²倍乘变换：第i行（列）乘以aI+(a¡1)Eii；²倍加变换：第j行（列）的a