上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)(2004.doc

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1、上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)(2004.01.09)一、单项选择题(每题3分，共15分)AAABC1.设F是数域，，则2.设M是n阶实数矩阵，若M的n个盖尔圆彼此分离，则MA.可以对角化B.不能对角化C.幂收敛D.幂发散3.设，则A=A.B.C.D.4.设收敛，则A可以取为A.B.C.D.5.设3阶矩阵A满足,且其最小多项式m(x)满足条件为某实数，则A可以相似于A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共15分)1.设5阶复数矩阵A的最小多项式为,则＝[1];[1].(其中表示共轭转置)2.设，则＝[E＋2(cos1-1)A]。3.设矩阵，则的谱半

2、径为［3＋2^{1/2}+3^{1/2}］。4.已知,,则幂级数收敛，且其和为［A(E-A)^{-2}］。5.设A为2阶矩阵,使得,则A的谱l(A)=[{1,2}]。三、计算题(每题14分，共56分)6.求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得的像Im包含向量,而的核Ker由向量生成.又,这样的线性变换是否唯一?为什么?解设题中给出的三个向量依次为a1，a2，a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为：，再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二

3、个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k（k是任意复数）的像（＝0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。1.复数域C是实数域R上的2维线性空间.试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交基；并求的长度.解对任意xj+yjiÎC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1,必要且只要=(x1-y1)(x2-y2)+y1y2.上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然

4、的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的长度为51/2.2.设，试求矩阵B使得。解A的特征值为－1，－1，1。属于－1的特征向量与广义特征向量为，；属于1的特征向量为。令，则。令故取，则于是令，则。故(解法2)更简单地，A的Jordan标准型J如上。则为使只要找到K使得于是选从而取，则有这个矩阵与A的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将K的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的－1倍加到第三列即可：于是，B=PKP－1，其中

5、P为下面的初等矩阵此时1.设，求。解IA的Jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此解2利用A的最小多项式(x-1)2.可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b=f(1)=与a=f’(1)=可知b=.于是四、证明题(14分)1.设是n阶复数矩阵，是由A的元素取模后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为的复向量均有，证明可逆，并求其逆。证明由于(取a=(1,1,…,1)T即可)。故，因此矩阵A的特征值的模均小于1，从而矩阵的特征值的模均大于,从而可逆。进一步，矩阵幂级数收敛，其和恰为，因此＝。