小学奥数经典专题点拨几何公理.pdf

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1、几何公理、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】

2、（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于180°。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，∠4=∠1+∠2。

3、②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，∠4＞∠1，∠4＞∠2。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。222用字母表达就是a+b=c。（a、b表直角边长，c表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的

4、对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是180°。如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边

5、都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）▲180°。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）×180°=180°；四边形的内角和是（4-2）×180°=360°。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外

6、角和等于360°。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n▲180°-（n-2）▲180°=360°。（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补。又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直

7、于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。（3

8、）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。