空间向量的叉积.ppt

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1、专题讲座-----空间向量的向量积（叉积）兰州一中郑新英对于两个向量a和b,它们的模

2、a

3、、

4、b

5、及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积（点积）,记作ab,即a·b

6、a

7、

8、b

9、cos.数量积的定义根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积,即WFs.复习：空间向量的数量积（点积）(1)a·a

10、a

11、2.(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b0,则ab;反之,如果ab,则a·b0.如果认为零向量与任何向量都垂直,则aba·b0.数量积的性质特别：i·j0，j·k0，k·i0.(3

12、)θ表示两非零向量a和b的夹角，则有(1)交换律:a·bb·a;(2)分配律:(ab)·ca·cb·c.(3)(a)·ba·(b)(a·b),(a)·(b)(a·b),其中、为数.数量积的运算律数量积的坐标表示a·bx1x2+y1y2+z1z2.设a(x1y1z1)，b(x2y2z2)，则新课：空间向量的向量积（叉积）设向量c是由两个向量a与b按下列规定给出:(1)c的模

13、c

14、

15、a

16、

17、b

18、sinθ；(θ为向量a和b的夹角)(2)c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则

19、从a转向b来确定.1、向量积的定义右手规则那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作ab,即cab.向量积又称为叉积。★向量积模的几何意义：若把a、b的起点放在一起，并以a，b为邻边作一平行四边形，则向量a与b的叉积的模

20、ab

21、即为该平行四边形的面积c=a×bab(1)aa0;特别：ij0；jk0；ki0.2、向量积的性质(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a//b;反之,如果a//b,则ab0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bab0.(3)若a≠o，b≠o，a，b的夹角为

22、θ，则(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab)cacbc;(3)(a)ba(b)(ab)(为数).3、向量积的运算律在空间直角坐标系中，我们已经知道iijjkk0那么ijjkki.kij4、向量积的坐标表示设ax1iy1jz1k，bx2iy2jz2k，则ab(x1iy1jz1k)(x2iy2jz2k)x1y2ijx1z2iky1x2jiy1z2jkz1x2kiz1y2kj(y1z2z1y2)i(x1z2

23、z1x2)j(x1y2y1x2)k.利用三阶行列式，上式可写成abijkx1y1z1x2y2z2y1z1y2z2x1z1x2z2x1y1x2y2ijk4、向量积的坐标表示设ax1iy1jz1k，bx2iy2jz2k，则ab(x1iy1jz1k)(x2iy2jz2k)x1y2ijx1z2iky1x2jiy1z2jkz1x2kiz1y2kj(y1z2z1y2)i(x1z2z1x2)j(x1y2y1x2)k.利用三阶行列式，上式可写成abijkx1y1z

24、1x2y2z2y1z1y2z2iy1z1y2z2x1z1x2z2x1y1x2y2x1z1x2z2jx1y1x2y2kabijkx1y1z1x2y2z2y1z1y2z2x1z1x2z2x1y1x2y2ijk★试一试：(1)若a=(1，-1，0)，b=(-1，1，-1)，则ab(1，1，0)(5，-11，-7)(3)若a=(3，2，-1)，b=(2，-1，3)，则ab(2)若a=(1，1，1)，b=(0，1，2)，则ab(1，-2，1)例1求以点A（1,2,3），B（3,4,5）和C（-1,-2,7）为

25、顶点的三角形的面积S△ABC.解：而所以=(2，2，4)，=(-2，-4，4)例2问向量a=(-2,3,1)，b=(-1,0,1)，c=(1,-1,-1)是否共面？解：由于而(ab)·c(4，2，2)·(1，-1，-1)=0所以a，b，c共面.向量积（叉积）在立几中的简单应用1、求二面角(1)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.求二面角ADFB的大小，★理一理：xyz(2)如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，2·PA=AB，求平面PAB与平面

26、PCD所成的二面角的大小.PABCDxyz(3)如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，BD⊥AD于D，SA=AB=a，BC=a，E为SC中点，求二面角D-BE-C的大小.xyz解：xyzxyz解：小结准确理解空间两向量的向量积（叉积）的概念、性质及其坐标运