高等数学系列经典学习资料2.1数列的极限.ppt

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1、华东师范大学软件学院xlq1数学描述:一、数列的极限模型设圆半径r,圆面积S近似计算当n无限增大时,无限逼近圆内接正n边形的面积第2章极限与连续(刘徽割圆术)圆面积S.华东师范大学软件学院xlq21.数列定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).华东师范大学软件学院xlq32.数列极限:若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.即或则称该数列的极限为a,x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN几何解释:华东师范大学软件学院xlq4例趋势不定收敛发散华东师范大学软件学院xlq5几何意义:定义:设数列xn,若M

2、>0,使得

3、xn

4、M,n=1,2,….则称数列xn有界,否则,称xn无界

5、xn

6、MMxnMxn[M,M].xn有界:即xn要全部落在某个对称区间[M,M]内0MxxnM)(数列的有界性.华东师范大学软件学院xlq6例.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.x11x0194x1x2x30x2nx2n-1数列的单调性华东师范大学软件学院xlq7例1.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取华东师范大学软件学院xlq8例2.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.华

7、东师范大学软件学院xlq9无穷大定义若任给M>0,n>N时，则称数列{xn}当时为无穷大,使当若在定义中将①式改为则记作正数N,记作总存在或①注:1.无穷大不是很大的数,它是描述数列的一种状态.2.数列为无穷大,必定无界.但反之不真!举例华东师范大学软件学院xlq103、收敛数列的性质1）定理2.1.1收敛数列的极限唯一.xn（）xn（）反证：华东师范大学软件学院xlq11例3.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.华东师范大学软件学院xlq1

8、22).定理2.1.2收敛数列一定有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列证：如图xab3).收敛数列的保号性.定理2.1.3xn（）yn（）华东师范大学软件学院xlq13推论1.(保号性定理)若,而a>0则正整数N,当n>N时,有xn>0推论2.推论3:设有数列{xn},若N(正整数),当n>N时,则:有xn0a0且注:在推论3中,即使xn>0,也只能推出a0,举例(xn0)(a0)(xn<0)(a<0)华东师范大学软件学院xlq144).定理2.1.4收敛数列的迫敛性(夹逼定理)证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故华

9、东师范大学软件学院xlq15特别,若aynzn,的意义:(1)给出判断数列yn存在极限的方法;(2)给出了求yn的极限的方法.这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.迫敛性定理华东师范大学软件学院xlq16例4.求解：利用迫敛性定理，记适当放大和缩小，将xn由于所以华东师范大学软件学院xlq17例5.证:(1)设a=1,结论显然成立.(2)设a>1,从而>1+nn证明华东师范大学软件学院xlq18>0,类似方法可证明华东师范大学软件学院xlq194.极限的四则运算定理2.1.5:设则有:例：求证推广到有限项华东师范大学软件学院xlq20例6.证明证:利用迫敛性定理，且

10、由华东师范大学软件学院xlq21若a0,b0都非0，则，0，kL华东师范大学软件学院xlq22=0，=.例7.求解:例8求分子有理化例9.求例10.求华东师范大学软件学院xlq235.数列极限存在条件定理2.1.6单调有界数列必有极限华东师范大学软件学院xlq24例11.设证明数列极限存在.*证:利用二项式公式,有华东师范大学软件学院xlq25大大正又比较可知华东师范大学软件学院xlq26根据准则可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又华东师范大学软件学院xlq27例12:求例13.(P59总/4)设x0=1,证明xn的极限存在，并求之证：注意到0

11、2,即xn有界.且x1x0华东师范大学软件学院xlq28同理，=即xn单调递增.华东师范大学软件学院xlq29因xn>0,故a0.思考:已知,求时,下述作法是否正确?说明理由设由递推式两边取极限得不对!此处华东师范大学软件学院xlq30定理2.1.7.柯西准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,有华东师范大学软件学院xlq31内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;夹逼定理任一子数列收敛于同一极限3.数列极限