《维无限势阱模型》PPT课件.ppt

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1、第二章定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维无限势阱模型一维线性谐振子模型隧道效应(势垒贯穿)定态薛定谔方程常常遇到微观粒子的势能函数U与时间t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题自由运动粒子…………U=0氢原子中的电子……薛定谔方程是描述体系的状态如何随时间变化特殊的状态，就是能量取确定值的状态，称之为稳定状态，简称定态stationarystate定态下，能量的取值不随时间的变化而改变描述定态的波函数称为定态波函数定态波函数满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程1定态薛定谔方程的建立用分离变量法求解薛定谔方程的特解设E

2、是不依赖r和t的常数在分离变量过程中引入的常数E为粒子的能量体系处于所描写的状态时能量有确定的值，称这种状态为定态定态波函数定态薛定谔方程2定态薛氏方程的边界条件和波函数满足的条件边界条件：在不同势能区域之间的边界上波函数连续，在有限势能边界上波函数对空间坐标的一阶微商连续波函数满足的条件：1）归一化条件：2）束缚态条件：定态薛定谔方程　　　　　　就是哈密顿算符的本征值方程，E称为哈密顿算符的本征值，(r,t)称为哈密顿算符的本征波函数(能量本征态)例如哈密顿算符3本征值、本征函数eigenfunction若一个算

3、符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数，如　　　　　　，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数一维无限势阱模型1一维无限深方势阱squarepotentialwell粒子的势能具有如下形式U=0U→∞U→∞U(x)xⅠⅡⅢ无限深方势阱是一个理想模型，适用于原子内层的电子、原子核中的质子波函数在势阱之外为零阱指的是势能曲线的形状，是无形的阱2一维无限势阱的定态薛氏方程在阱内(-a

4、条件4薛定谔方程的解首先，引入符号定态薛氏方程化为它的解为根据边界条件有A、B不能同时为零或当同时有第一组当同时有第二组因为将上面两个解合并写为常数A可由归一化条件,确定请同学们自己试一试能量本征函数定态薛定谔方程定态波函数定态薛定谔方程边界条件：波函数及其一阶微商连续波函数满足的条件：列出定态薛氏方程能量本征函数归一化引入参数化简方程求出方程的通解确定粒子势能的表达式能量的本征值和本征函数解题思路波函数边界条件一维无限深势阱能量本征值定态薛定谔方程能量本征函数束缚态基态宇称束缚态：粒子只能束缚在有限区域内，在无

5、限远处波函数为零的状态（断续谱）非束缚态：在无穷远处发现该粒子的概率不为零（连续谱）一维无限势阱中给出的波函数全部是束缚态1束缚态boundstate2基态groundstate粒子能量最低的本征态一维无限势阱中的粒子，阱内粒子的最低能量n=1的本征态为基态一维线性谐振子的基态为n=0的本征态当n为奇数时我们称这时波函数具有偶宇称当n为偶数时我们称这时波函数具有奇宇称并非所有的函数都有确定的宇称在一维情况下，只有在势能函数具有空间反演对称性：U(x)=U(-x)，是x的偶函数时，波函数才有确定的宇称3宇称parity

6、由一维无限势阱的本征态，可以证明一维线性谐振子模型分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似地看作处在以平衡位置为中心的弹性力场中。按经典力学，它们将以一定的频率围绕平衡位置做简谐振动。1一维线性谐振子如果粒子的势能具有如下形式这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成几个独立的一维谐振子固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题势能U(x)可在平衡位置展开为式中k和U0都是常量

7、一般来说，一个体系在平衡点附近的行为，都可近似为一维线性谐振子问题axU(x)两原子间的互作用能双原子分子的两原子间的相互作用ax=a是一个稳定的平衡点基态能量零点能相邻两能级间距谐振子的能级因此线性谐振子具有分立的能级为n=0,1,2…U(x)谐振子的基态能量不为零，是微观粒子波动性的体现静止的波是不存在的如果不考虑零点能，谐振子的能量,验证了Planck量子化的假说2线性谐振子的能量本征值例题利用不确定关系估算谐振子的零点能解：利用坐标和动量的不确定关系谐振子的能量不确定度为：使ΔE取极小值条件谐振零点能为隧道效

8、应tunnelingeffect1.势垒设有一定能量E的粒子，沿x轴方向射向势垒经典力学：若EU0，则粒子将穿过势垒a0U0U(x)x量子力学：不论粒子的能量为何值，将按一定的几率穿透势垒、也可以按一定的几率被势垒反射123U(x)=粒子的能量E<