多分辨率分析的引入多分辩率分析的定义空间.ppt

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1、10.1多分辨率分析的引入10.2多分辩率分析的定义10.3空间、中信号的分解10.4二尺度差分方程10.5二尺度差分方程与共轭正交滤波器组10.6Mallat算法10.7Mallat算法的实现10.8小波变换小结第10章离散小波变换的多分辨率分析10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示，令显然，的整数位移相互之间是正交的，即(10.1.1)(10.1.2)这样，由的整数位移就构成了一组正交基。设空间由这一组正交基所构

2、成，这样，在空间中的投影（记作）可表为：式中,是基的权函数。如图10.1.1(b)所示，它可以看作是在中的近似。是离散序列，如图10.1.1(c)所示。令(10.1.3)(10.1.4)图10.1.1时信号的概貌近似是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的，和是正交的。这一结论可证明如下：令，则,,再由（10.1.2）式，有(10.1.5)于是结论得证。将作二倍的扩展后得，如图10.1.1(g)所示。由作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为，记信号在中的投影为，则式中为加权系

3、数。如图10.1.1(h)所示。仍为离散序列，如图10.1.1(i)所示。若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的的基础上，我们可得到在不同尺度下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是。用这样的正交基对作近似，就可得到在中的投影。(10.1.6)由图10.1.1(a)和图10.1.1(g)，我们不难发现：(10.1.7)图10.1.2时信号的概貌近似所以，用对作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对的近似要优于图(h)对的近似，

4、也即分辨率高。(10.1.8)另一方面，若，那么中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，时对的近似误差最大。按此思路及（10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数完全可以由高一级分辨率的基函数所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，即(10.1.9)但是，毕竟不等于，也即比对近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由和的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为。这样，有(10.1.10)该式的含义是：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。现在我们来寻找的表示方法。设有一基本函数，如图10

5、.1.1(d)所示，即(10.1.11)图10.1.3时信号的细节近似很明显，的整数位移也是正交的，即(10.1.12)进一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即(10.1.13)如图（j）所示。同时，和的整数位移之间也是正交的，即(10.1.14)观察图(a)，(d)和(g)，不难发现，和之间有如下关系：记张成的空间为，所张成的空间为，依次类推，张成的空间为，记在空间中的投影为，在中的投影为，它们均可表为相应基函数的线性组合，即(10.1.15a)(10.1.15b)(10.1.16)(10.1.17)图10.1.4时信号的细节近似式中,是,尺度下的加权系数，它们均是离散

6、序列。,分别如图10.1.1(e)和(f)所示，,分别如图(k)和(l)所示。由图10.1.1不难发现，若将图(h)的和图(k)的相加，即得图(b)的，由空间表示，即是式中表示直和。这说明，是的正交外空间，并有，。我们把上述概念加以推广，显然有(10.1.18)（10.1.19）（10.1.20）在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的讨论可知，对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数称为小波函数。读者不难发现，图10.1.1(d)中的即是我们在上一章提到的Haar小波。图(a)中的即是Haar小波在

7、时的尺度函数。这样，给定不同的分辨率水平，我们可得到在该分辨率水平上的近似和，由于是低通信号，因此反映了的低通成份，我们称其为的“概貌”。由于是由边缘得到的离散序列，所以也应是在尺度下的概貌，或称离散近似。同理，由于是带通信号，因此反映的是的高频成份，或称为的“细节”，而是的离散细节。10.1.2树结构理想滤波器组我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理。一个离散时间信号经过一个两通道滤波器组后，的输出为其低频部分，频带在；的输出为其高频部分，频带为。由于、输出后的信号频带均比的频带降低了