泰勒公式与导数的应用.doc

《泰勒公式与导数的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒公式泰勒中值定理：如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项。阶麦克劳林公式：其中（）或。常用的初等函数的麦克劳林公式：1）2）3）4）5）6）19巩固练习★1.按的幂展开多项式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求按的幂展开的阶泰勒公式，则依次求直到阶的导数在处的值，然后带代入公式即可。解：，；，；，；；；；将以上结果代入泰勒公式，得。★★2.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点

2、：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；；将以上结果代入泰勒公式，得，（介于与4之间）。★★★3.把在点展开到含项，并求。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。为有理分式时通常利用已知的结论。解：；19又由泰勒公式知前的系数，从而。★★4.求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为对数函数时，通常利用已知的结论。方法一：（直接展开），；，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得。方法二：。★★5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。

3、思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为有理分式时通常利用已知的结论。方法一：，；，；，，；将以上结果代入泰勒公式，得19（介于与之间）。方法二：（介于与之间）。★★6.求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。中含有时，通常利用已知结论。方法一：，；，；，，将以上结果代入麦克劳林公式，得。方法二：。★★7.验证当时，按公式计算的近似值时，所产生的误差小于，并求的近似值，使误差小于。19知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范

4、围。解：；。★★8.用泰勒公式取，求的近似值，并估计其误差。知识点：泰勒公式的应用。解：设，则，从而；其误差为：。★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1）；（2）。知识点：泰勒展开式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：（1）。（2）。★★10.设，证明：。19知识点：泰勒公式。思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解：（介于与之间），∵，∴，从而，结论成立。（也可用§3.4函

5、数单调性的判定定理证明之）★★11.证明函数是次多项式的充要条件是。知识点：麦克劳林公式。思路：将按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若是次多项式，则有。充分性。∵，∴的阶麦克劳林公式为：，即是次多项式，结论成立。★★★12.若在上有阶导数，且证明在内至少存在一点，使。知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：证明，可连续使用拉格朗日中值定理，验证在上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据在处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一：∵在上可导，且，∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得；∵

6、在上可导，且，∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得；依次类推可知，在上可导，且，19∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得。方法二：根据已知条件，在处的泰勒展开式为：，∴，从而得，结论成立。内容概要名称主要内容函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判别法：设在上连续，在内可导，则（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少。1）曲线凹凸性的概念：设在区间内连续，如果对上任意两点，恒有，则称在上的图形是凹的；如果恒有，则称在上的图形是凸的。2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性

7、的判别法：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的。巩固练习★1.证明函数单调增加。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间上，（），则在单调增加（减少）。19证明：∵（仅在处），∴在内是单调增加的。★2.判定函数的单调性。解：∵（仅在处），∴是单调增加的。★★3.求下列函数的单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及

8、不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）的定义域为；令，得，。列表讨论如下：－↗↘↗由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。（2）在内，令，