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1、2001年第18期 数学通讯15证明三点共线问题的若干种思路王凤波(高密三中,山东261519) 本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的足分别为D,E,F,由三点的坐标知
2、AD
3、=3,
4、BE
5、12种思路,掌握这些思路可加深我们对一些概念、=7,
6、CF
7、=12,
8、DE
9、=4,
10、EF
11、=5,
12、DF
13、=9.公式、定理的理解. 梯形ADEB的面积题目 证明:三点A(1,3),B(5,7),C(10,12)1S1=(3+7)×4=20,在同一条直线上.2思路1利用平面内两点间的距离公式.
14、 梯形BEFC的面积221(7+12)×5=95证法1:∵
15、AB
16、=(5-1)+(7-3)=42,S2=,2222
17、BC
18、=(10-5)+(12-7)=52,
19、AC
20、= 梯形ADFC的面积(10-1)2+(12-3)2=92,∵
21、AB
22、+
23、BC
24、=1135图1 证法6用图S3=(3+12)×9=.22
25、AC
26、,∴A,B,C三点在同一条直线上.∵S1+S2=S3,∴A,B,C三点在同一条直思路2利用定比分点坐标公式.线上.证法2:设B′(5,y)是有向线段AC的定比分思路7利用直线的斜率公式.点,点B分A
27、C所成的比为λ,则7-31+10λ证法7:直线AB的斜率kAB=5-1=1,直线5=,41+λλ=,解得5BC的斜率k=12-7=1,直线AB和直线BC都过3+12λBC10-5y=,y=7.1+λ点B,又kAB=kBC,∴A,B,C三点在同一条直线上.∴B′(5,7)与B(5,7)重合,∴A,B,C三点在思路8利用直线的方程.同一条直线上.y-3x-1证法8:直线AB的方程为=,即x-思路3利用向量b与非零向量a共线的充要7-35-1条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.y-7x-5y+2=0.直线
28、BC的方程为=,即x-y证法3:∵AB=(5-1,7-3)=(4,4),BC=12-710-5+2=0,故直线AB和直线BC重合,所以A,B,C4(10-5,12-7)=(5,5),∴AB=5BC,∴AB∥三点在同一条直线上.BC,又∵直线AB与直线BC有公共点B,∴A,B,思路9利用点在直线上.C三点在同一条直线上.证法9:直线AB的方程为x-y+2=0,把点C思路4若a(x1,y1),b(x2,y2),利用a∥b的坐标代入,即10-12+2=0,显然成立,故点C在Zx1y2-x2y1=0.直线AB上
29、,所以A,B,C三点在同一条直线上.证法4:AB=(4,4),BC=(5,5),4×5-4×5=思路10利用点到直线的距离公式.0,∴AB∥BC,又∵直线AB与直线BC有公共点证法10:直线AB的方程为x-y+2=0,点CB,∴A,B,C三点在同一条直线上.到直线AB的距离d=
30、10-12+2
31、=0,故点C在2思路5利用a,b同向时,a·b=
32、a
33、·
34、b
35、,a,直线AB上,所以A,B,C三点在同一条直线上.b异向时,a·b=-
36、a
37、·
38、b
39、.思路11利用平行线系方程.证法5:AB=(4,4),BC=(5
40、,5),
41、AB
42、=_证法11:直线AB的方程为x-y+2=0,设与16+16=42,
43、BC
44、=25+25=52,
45、AB
46、·直线AB平行的直线系方程为x-y+c=0,把点C_
47、BC
48、=42·52=40.的坐标代入得c=2.过点C且与直线AB平行的直线方程x-y+2=0与直线AB的方程相同,所以又AB·BC=4×5+4×5=40,A,B,C三点在同一条直线上.∴AB与BC同向.思路12利用垂直线系方程.又∵直线AB与直线BC有公共点B,证法12:直线AB的方程为x-y+2=0,设与∴A,B,C三点在同一条直
49、线上.直线AB垂直的直线系方程为x+y+c=0,把点C思路6利用平面几何知识.的坐标代入得c=-22,过点C且与直线AB垂直的证法6:过A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂16数学通讯 2001年第18期推导定比分点公式的启示雷淇未(东安一中,湖南425900) 定比分点公式是解析几何中的一个重要公式,1 故所求P点坐标为(7-35,(35-3)).有着广泛的应用.推导公式的关键是将有向线段2P1P2投影到坐标轴上(如图1),化点P分有向线段例2△ABC的顶点坐标分别为A(-3
50、,0),B(9,5),C(3,9).直线l:y=a将△ABC的面积平分,P1P2所成的比λ为点M分坐标轴上有向线段M1M2求直线l的方程.所成的比.即应用了公式:解 如图所示,易知直线l与AB相交,设其交P1PM1Mx-x1λ===(Ⅰ)点为E,又设l交AC于F点.PP2MM2x2-xS△AEF
51、AE
52、·
53、AF
54、1P1PM1My-y1∵==,λ===(Ⅱ)S△ABC
55、AB
56、·
57、AC
58、2PP2MM2y2-yAEAF1aa1∴·=,即·=.AB
