石油大学弹性力学.ppt

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1、1Chapter10TorsionElasticity2第十章扭转3第10章扭转§10-1等截面直杆的扭转§10-2椭圆截面杆的扭转§10-3薄膜比拟§10-4矩形截面杆的扭转§10-5开口薄壁杆件的扭转扭转4扭转对于任意截面杆的扭转，这是一个空间问题，根据问题的特点，本章首先给出了求解扭转问题的应力函数所应满足的微分方程和边界条件。其次，为了求解相对复杂截面杆的扭转问题，我们介绍了薄膜比拟方法。柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产

2、生翘曲。对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条件下，杆中会产生附加正应力。本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。5扭转§10-1等截面直杆的扭转一应力函数设有等截面直杆，体力不计，在两端平面内受扭矩M作用。取杆的一端平面为xy面，图示。横截面上除了切应力τzx、τzy以外，其余的应力分量为零将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平衡方程，得xMMoyz根据前两方程可见，τzx、τzy只是x和y的函数，与z无关，由第三式6扭转根据微分方程理论，一定存在一个函数x

3、,y，使得函数x,y称为扭转问题的应力函数。a§10-1等截面直杆的扭转将应力分量代入不计体力的相容方程，可见：前三式及最后一式得到满足，其余二式要求注：体力为零时，空间问题应力分量表示的相容方程即b7扭转二边界条件在杆的侧面上，将n=0，及面力分量为零代入边界条件，可见前两式总能满足，而第三式要求注：空间问题应力边界条件即由于在边界上§10-1等截面直杆的扭转于是有说明在横截面的边界上，应力函数φ为常量，由于应力函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截面（实心杆）时可设c8扭转§10-1等截面直杆的扭转对多

4、连通截面（即空心杆）的情况，应力函数在每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能把其中的一个边界上的取为零。xys0s1s2sn通常取外边界s0的，即jj为其他边界的待定常数。9扭转分步积分，并注意φ在边界上为零最后得到d§10-1等截面直杆的扭转在杆的任一端，剪应力合成为扭矩AB同样得：10扭转三位移公式根据应力、应变、位移的关系可以得到由上面得到§10-1等截面直杆的扭转其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移e11扭转代入前面右边前两式上两式可用来求出位移分量w。f§10-1等截面直杆的扭转上两式分别对y和x

5、求导，再相减，得可见前面公式b中得C=-2GK.显然，为了求得扭转问题的解，只须寻出应力函数，使它满足方程b、c和d，然后由a式求出应力分量，由式e和f给出位移分量的值。12扭转§10-2薄膜比拟对于矩形、薄壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上。比拟的条件是二者的微分方程和边界条件相同。薄膜比拟法是求解扭转问题的一种实验方

6、法。设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示z方向微小的垂度。xxydxdyOTqzbc13扭转取薄膜的一个微小部分abcd图示，它在xy面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别是dx和dy。设薄膜单位宽度上的拉力为T，则由z方向的平衡条件得简化后得TdxTdydxdyabdcxyTTxzqoy§10-2薄膜比拟14扭转即此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即a而应力函数所满足的微分方程和边界条件为§10-2薄膜比拟其中Gk也是常量，b

7、将式b与式a对比，可见与决定于同样的微分方程和边界条件，如果调整，使，则有.因而必然具有相同的解答。于是有15扭转即c§10-2薄膜比拟则有从而有d由又可得e设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到16扭转1扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。2扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍。3扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的切应力，就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。§10-2薄膜比拟扭转M薄膜2V扭转问题和薄膜问题的对应关系调整薄膜所受的压力q，使得则可得出如下结论：17扭转§10

8、-3椭圆截面杆的扭转设有等截面直杆。它的横截面具有一个椭圆，椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为应力函数在边界上应等于零，故取代入1xyabo得求得1、求应力函数18扭转回代入1式得由§10-3椭圆