差错控制编码-循环码.ppt

《差错控制编码-循环码.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1循环码一、循环码的特点循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。若（）为一循环码组，则还是许用码组。如（7，3）循环码的全部码字第三章差错控制编码二、码多项式为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码可以将它的码多项式表示为：对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位置的标志。因此，这里并不关心x的取值。表中的第7码字可以表示为：在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中

2、，有1+1＝2≡0（模2），1+2＝3≡1（模2），2×3＝6≡0（模2）等。因此，若一个整数m可以表示为:则在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说，在模n运算下，一整数m等于其被n除所得的余数。如：在码多项式运算中也有类似的按模运算法则。若一任意多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，也就是：则可以写为：F(x)≡R(x)（模N(x)）这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x4+x2+1除以x3+1的值可得：这样式也可以表示为：注意，在上述运算中，由于

3、是模2运算，因此，加法和减法是等价的，在式子中通常用加法运算符，具体模2运算的规则定义如下：在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用码组，则在按模运算下，亦是一个许用码组，也就是假如：（模），可以证明亦是一个许用码组，并且，正是A(x)代表的码组向左循环移位i次的结果。例如，由式表示的循环码，其码长n＝7，现给定i＝3，则：其对应的码组为0101110，它正是表中第3码字。结论：一个长度为n的循环码，它必为按模（）运算的一个余式。三、循环码的生成多项式及其特征如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)（全

4、0码字除外）为生成多项式。循环码中次数最低的多项式（全0码字除外)就是生成多项式。可以证明生成多项式g(x)具有以下特性：（1）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式(首一多项式)；（2）g(x)是的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，这时，生成矩阵G(x)可以表示成为：其中：因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可以确定，进而该循环码的所有码字就可以确定。显然，（*式）不符合形式，所以此生成矩阵不是典型形

5、式，不过，可以通过简单的代数变换将它变成典型矩阵。（*式）现在以（7，3）循环码为例，来构造它的生成矩阵和生成多项式，这个循环码主要参数为，n＝7，k＝3，r＝4。可以看到，其生成多项式可以用第1码字构造：在上面的例子中，是（7，3）循环码的所有码字，构造了它的生成多项式和生成矩阵。但在实际循环码设计过程中，通常只给出码长和信息位数，这就需要设计生成多项式和生成矩阵，这时可以利用g(x)所具有基本特性进行设计。四、监督多项式和监督矩阵首先，生成多项式g(x)是的一个因式，其次g(x)是一个r次因式。因此，就可以先对进行因式分

6、解，找到它的r次因式。下面仍以（7，3）循环码为例进行分析。第一步：对进行因式分解得：第二步：构造生成多项式g（x）为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从上式中找到r=n-k次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即：1式2式以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组就不同。用1式作为生成多项式产生的循环码为上述表码所列。当然，在得到生成矩阵G以后，可以通过线性变化，使之成为典型矩阵，同时得到监督矩阵H。除此之外，还可以利用循环码的特点来确定监督矩阵H。 由于（n,k）循环码中g(x

7、)是的因式，因此可令：这里h（x）称为监督多项式。与G(x)相对应，监督矩阵表示为：其中是逆多项式对于前述例子中的（7,3）循环码，则：设发送码组A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，则收发码组之差定义为错误图样E，也称为误差矢量，即其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且当bi=ai当bi≠ai五、循环码的编码在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从的因子中选一个（n-k）次多项式作为g(x)；然后，

8、利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。令S=BHT，称为伴随式或校正子。由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样。若S=0,则为有效码字为求