均值不等式的实际应用.ppt

《均值不等式的实际应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、均值不等式的实际应用教学重点：利用均值不等式解决实际问题教学难点：实际问题数学化（建模）教学重点和难点利用均值不等式求函数的最值教学关键复习旧知识①均值不等式a2+b2≥2ab，a+b≥2·2√ab(当且仅当a=b时上述各式取等号)；a3+b3+c3≥3abc，a+b+c≥3·3√abc(当且仅当a=b=c时上述各式取等号)。③利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内。②和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值例1：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个

2、无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？解：已知量：边长为60cm的正方形铁皮。需设量：四角截去的小正方形的边长为：xcm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高60cm60cmxcm60-2xx60-2xxcm60-2x60-2x所求几何体的体积V=（60-2x）·（60-2x）·x目标函数：V=(60-2x)·(60-2x)·x≤3=2·(20)3=16000(cm)3当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax=1600

3、0(cm)3答：截去小正形的边长为10cm时，水箱容积最大，最大容积为16000(cm)3=2·(30-x)·(30-x)·2x例2:一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为50厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。80cm50cm解：已知量：长为80cm，宽为50cm需设量：截去小正方形的边长为：xcm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高xcmxcm80-2x50-2x此题若按例1的解法来解当且仅当80-2x=50-2x这样的x不存在！！目标函数：V=(8

4、0-2x)·(50-2x)·x解:V=(80-2x)(50-2x)x=2(40-x)(50-2x)·x=18000(cm)3当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长x=10时，Vmax=18000(cm)3解法：V=4(40-x)·(25-x)·x=(40a-ax)·(25b-bx)·x·(4/ab)解得a=1/3，b=2/3，x=10V=18(40/3-x/3)·(50/3-2x/3)·x≤18·[(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3]3=18000当且仅当40/3-x/3=50/3-2x/3=x即x=

5、10时Vmax=18000(cm)3若满足由同学们来完成下列练习：用总长29.6m的钢条制做一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长1m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解：已知量：长方体的12条棱长之和为29.6m，需设量：长方体的底面两边长为：x和(x+1)m，高为hm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高而4x+4(x+1)+4h=29.6即h=6.4-2xV=x·(x+1)·(6.4-2x)x+1xh目标函数：V=x·(x+1)·hV=x·(x+1)·(6.4-2x)=ax·(b

6、x+b)·(6.4-2x)/ab其中a，b是待定的正常数且满足a+b=2且ax=bx+b=6.4-2x解得a=1.2，b=0.8，x=2此时V=1.2x·(0.8x+0.8)·(6.4-2x)/0.96≤[(1.2x+0.8x+0.8+6.4-2x)/3]3/0.96=(7.2/3)3/0.96=14.4m3答：当高h=6.4-2×2=2.4m时，Vmax=14.4m3例3：制做圆柱形的罐头盒，如果容积一定，它的尺寸怎样取，所用的材料最少？分析：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来实质是

7、圆柱体的表面积已知量：体积V（假定为定值）需设量：底半径r，高h最终要研究的量：表面积S=两个底面积+侧面积2rh且V=πr2h目标函数：S=2πr2+2πrh作业如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底半径与上底半径之比为k（0