D3中值定理与导数应用习题课.pdf

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1、习题课第三章中值定理及导数的应用一、微分中值定理及其应用二、导数应用机动目录上页下页返回结束一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系f(a)f(b)罗尔定理拉格朗日中值定理f()0f(b)f(a)f()yF(x)yxf(x)baF(x)xf(a)f(b)n0yyf(x)o柯西中值定理abx泰勒中值定理f(b)f(a)f()f(x)f(x0)of(x0)(xx0)abxF(b)F(a)F()1f(n)(x)(xx)nn!001f(n1)()(xx)n1(n1)!0机动

2、目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.机动目录上页下页

3、返回结束例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点x(a,b),再取异于x的点x(a,b),对00为端点的区间上用拉氏中值定理,得f(x)f(x)f()(xx)00f(x)f(x)f()(xx)00f(x)f()xx00f(x)M(ba)K(定数)0可见对任意x(a,b),f(x)K,即得所证.机动目录上页下页返回结束例2.设在上连续,在内可导,且证明至少存在一点使证:问题转化为证f()2f()0.设辅助函数()2()xxfx显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点使2(

4、)2f()f()0即有机动目录上页下页返回结束例3.且试证存在f()f()f()(ba)f()证:欲证,即要证.ab2222ba因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有f(b)f(a)f()(ba),(a,b)①2故有又因f(x)及x在[a,b]上满足柯西定理条件,②ab将①代入②,化简得f()f(),,(a,b)2机动目录上页下页返回结束例4.设实数满足下述等式aaa1n002n1证明方程在(0,1)内至少有一个实根.n证:令F(x)aax

5、ax,则可设01na12ann1F(x)axxx02n1且F(0)F(1)0,由罗尔定理知存在一点(0,1),使n即a0a1xanx0在（0，1）内至少有一个实根.机动目录上页下页返回结束例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1,试证必存在(0,3),使f()0.(03考研)证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故f(0)f(1)f(2)mf(0),f(1),f(2)Mm

6、M3由介值定理,至少存在一点c[0,2],使f(0)f(1)f(2)f(c)3f(0)f(11)f(2)分析:所给条件可写为1,f(3)13f(c)f(3)1,且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,f(0)f(1)f(2)想到找一点c,使f(c)由罗尔定理知,必存在(c,3)(0,3),使3f()0.机动目录上页下页返回结束例6.设函数在上二阶可导,且证明证:x[0,1],由泰勒公式得f(1)f(x)f(x)(1x)1f()(1x)2(01)2f(0)f(x)f(

7、x)x1f()x2(01)2两式相减得0f(x)1f()(1x)21f()x222f(x)1f()(1x)21f()x2221f()(1x)21f()x22212x(1x)1,x[0,1]机动目录上页下页返回结束二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)机动目录上页下页返回结束定理.设函数f

8、(x),g(x)在上具有n阶导数,(k)(k)且(1)f(a)g(a)(k0,1,2,,