中值定理导数应用习题课(11级

《中值定理导数应用习题课(11级》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、中值定理与导数的应用习题课一、微分中值定理1．罗尔定理2．拉格朗日中值定理3．柯西中值定理在上连续,在内可导,且在上连续,在内可导,则至少存在一使在上连续,在内可导,则至少存在一使则至少存在一使5.三个定理之间的内在联系拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理4.判别的方法若，则6.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论7.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.8.典型例题定理的三个条件。【例1】若方程有一个正根证明方程分析如果令，无法判定,所以不能利

2、用零点定理,考虑利用罗尔定理证明。的左端函数,其次在题设的相应区间上满足罗尔首先构造一个函数使，其中是欲证方程必有一个小于的正根.证明:设由罗尔定理，存在使即这说明就是方程的一个小于的正根.由题设易知多项式函数在上连续且可导,练习1.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即证明:在上应用拉格朗日中值定理,对函数即故或得显然有【例2】设证明：例3.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一

3、点【练习】设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使【例4】设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使【例5】设在上连续,在内可导,且证明存在一点使证明:令且即由已知条件知在上连续,在内可导，故由罗尔定理知,使构造辅助函数构造辅助函数构造辅助函数总结：通过恒等变形二、洛必达(LHospital)法则limf(x)=limg(x)=0(或),存在或为,则其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转

4、化例1.求极限解原式例2.解则原式=解:令(继续用)法则法则例4.求极限解所以洛三、函数的极值与单调性1．函数极值的定义2．函数的驻点3．函数的单调区间的判别则为的驻点.在上，若，则单调增加；若，则单调减少；为极大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx£Îd1．函数凹凸性定义2．函数的拐点称曲线为凹的；称曲线为凸的。3．函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点。凹；凸。1．第一充分条件三、函数极值的充分条件(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,如果

5、在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点.2．第二充分条件（2）当时，函数在处取得极小值；（1）当时，函数在处取得极大值；设函数在处具有二阶导数且，，那么四、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.(极值第二判别法)求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值（驻点或导数不存在的点）当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)特别：解定义域为单调减少区间为：单调增加区间为：列表讨论例1.可知x=0为y的极小值点，极小值

6、为0.所给的函数定义域为.解:非极值极小0y+0+0–1(0,1)0x例2.解：例4.证明当x>0时，证明：x0(0,1)1y"y+_+001(拐点)0(拐点)例6.试确定函数中的,使得为函数的驻点,点为函数的拐点,并求出拐点.解：为拐点，必有,即，.又点为驻点，必有,即，从而函数为，注意到当时，，图形是凸的；，图形是凹的；当时，而.故曲线的拐点为.由于点