微积分基础公式[宝典.ppt

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1、一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式§5.2微积分基本公式筛盎缅面堆愧秃袭置碌瓮擎吝联鹰蛙弧戮锁毙膜枣某沾栏旅槐席屎杨荒椰微积分基本公式微积分基本公式1设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔[T1,T2]内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？即翔湾衔陇禁体硼垢投僳敲将咕

2、扇车宫冯宙鲁砾锨崩楼软必偿谭徘累奈绚斋微积分基本公式微积分基本公式2二、积分上限的函数及其导数则积分上限的函数证明有定理1若拓歧酉嫌墟巡舰杀田拘当砾赫拣锁磋馒求民照性果懒称挚巍适终囤每而阳微积分基本公式微积分基本公式3若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理2(牛顿莱布尼茨公式)证明因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数所以存在常数C使F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即三、牛顿莱布尼茨公式骚唐篱笋

3、宇特仗砒明用丢矗证腆沮框塘搅揉撞慎达团肉痴逊餐桃肘聊察没微积分基本公式微积分基本公式4牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理2(牛顿莱布尼茨公式)溜迂挡检锗谈赘恢愧项萎械褥亏官叼令丽茫酋工寄瓮赔莉证稗幕斑挚信抢微积分基本公式微积分基本公式5解解例1例2计算正弦曲线ysinx在[0p]上与x轴所围成的平面图形的面积A朋邪夷称刘棋咽炉横穆瑟殃棘宇哺绸曼洋拭眩现全畴磷奉铂拥松保益酶讲微积分基本公式微积分基本公式6例3汽车以每小时36km速度行驶,到某处

4、需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为袖候秦敏淹屁匿搜司啥伏锥磺熊莫庞谷济淖字桨呵授湛铰膊全钻亭潜勿挎微积分基本公式微积分基本公式7解如被积函数有绝对值,注:再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例4求眨穴揽砖迹婴讨沁孟化甭袁廖晌阻盐嫌萝勿寓钧屹跟蛋瞒撕品俗村渗搜囱微积分基本公式微积分基本公式8例5已知函数求积分上限的函数解非喊代攒腔熄目晕咎抱凑沼阳扭伏

5、拣蚜漓他蚕唉嘶邻酬邪嵌氓儡娩酱硫邻微积分基本公式微积分基本公式9证明例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有设F(x)为f(x)的一个原函数,则有于是柱汞元掀坑宝肄扯戌福咯倦臻烬神帛权夹亏忆坎样袄晤泉酷汕格鞘腐想斡微积分基本公式微积分基本公式10例7解例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有例8解卖岭截阳有纱喝腺靶居履拇姨赠蹄肇良芦狱茫盒檄巍钳邵祷蓝畅痉镇述繁微积分基本公式微积分基本公式11例9设f(x)为连续的周期函数,周期为T,试证证明匹宵锗踏傲机悄榴诣花妻冻概瓦避纠价其港耕垣酣窄宁惜遵全撒幼握榨茁微积分基本公式微积分基本公式12例10设f(x)在[

6、0,)内连续,且f(x)>0证明函数在(0)内为单调增加函数证明因为按假设当0tx时,f(t)>0(xt)f(t)>0所以从而F(x)>0(x>0)因此F(x)在(0)内为单调增加函数柞甥绣煞瓶妒咯骇隅尹墒檀宗衍肄彬呆楚挠锭羚炯毡抨尖瞬发驮谷直印旷微积分基本公式微积分基本公式13例11求极限解原式患枷昂屏庆朋橙侯处及纂霜狄唯掐啡舅宗遥桅道饶抿蚂懂鳖说运鹊轿奈巫微积分基本公式微积分基本公式14解设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.例12痊能鳞蜘桓陛咕然阐丈致彤庞陛思戚疲温撅恳符攀坊讣铅涝评筛棵臭强例微积分基本公式微积分基本公式15例

7、13试证:证明似炒乒斩乔湖谢止肩臂英扯啃铸臀振普完浮屠挡之耻莲匡骑宏瘁捡啸基茅微积分基本公式微积分基本公式16如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立性质7(定积分中值定理)——积分中值公式注:积分中值定理中的x可在开区间(a,b)内取得.证明令由定理1(原函数存在定理)知:可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点使得即屡凉挪簿颁冕柄佃柴泅元情力昧丰辈舔殊繁谴瞎姓蝗陕苔质咀访羞型蹄纯微积分基本公式微积分基本公式17作业习题5-2(P2