《极大线性无关组》PPT课件.ppt

《《极大线性无关组》PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、定理1:复习n维向量及线性相关性向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。或者，令定义：或者，令推论2：m>n时，m个n维向量必线性相关.推论3：n个n维向量线性无关即它们所构成方阵的行列式不为零.（注：m个未知数，却只有n个方程）例4的等价命题是:若向量组a1,a2,...,am线性无关,则其任一部分组都是线性无关的.例4证明:若向量组a1,a2,...,am中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关.证不妨设a1,a2,...,a

2、r线性相关(r

3、2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0由于a1,a2,a3线性无关,必有定理：如果一组n维向量a1,a2,...,am线性无关,那么把这些向量各任意添加t个分量所得到的新向量组也是线性无关;这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，km有第3.4节向量组的极大线性无关组线性代数一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表

4、示，就称向量组A与向量组B等价。即自反性：一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组与等价，则和等价；传递性：与等价,与等价，则与等价。数学上一般将具有上述三种性质称为等价关系；等价向量组的基本性质定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A

5、中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。例1全体n维实向量构成的集合记为Rn，求Rn的一个最大无关组。解:因为n个单位坐标向量e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…，0

6、),……,en=(0,0,…,1)是线性无关的，而Rn中任意向量都可用e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…，0),……,en=(0,0,…,1)线性表示，因此e1,e2,……,en就是Rn的一个最大无关组。注:以后称Rn为n维欧几里得空间，且称它的一个最大无关组为Rn的一组基。极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量

7、，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。2.矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量

8、，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3