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1、第七章多目标及离散变量优化方法7.1多目标优化问题7.2多目标优化方法7.3离散变量优化0fx§7.1多目标优化问题abf1f2在[a,b]区间内有两个目标函数：对于f1(X)：当x=a,f1(X)取得最差值f1max当x=b,f1(X)取得最优值f1min对于f2(X)：当x=a,f2(X)取得最优值f2max当x=b,f2(X)取得最差值f2min随着设计变量X的值不断增大，目标函数f1(X)的值越来越好，目标函数f2(X)的值越来越差x1x2f1maxf2maxf2minf1min一.多目标问题的
2、数学模型：设X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f1(X),f2(X),…fq(X),X∈Rns.t.gu(X)≤0u=1,2,…,mhv(X)=0v=1,2,…,p二.最优解与选好解、劣解与非劣解：对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6；对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。§7.1多目标优化问题0f2f1●1●3●2●4●6●5使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难找到的，设计人员所能做到的就是在Pareto解集中挑选
3、合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷EADCBf1f2最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。劣解：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。多目标函数问题的优化设计过程：1、先求非劣解；2、从非劣解中选出选好解。常用的求选好解的方法：1、主要目标法2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小…3、功效系数法4、分层序列法一．主要目标法思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主要目标，将其他
4、目标转化成约束条件）§7.2多目标优化方法原模型:minf1(X),f2(X),…fq(X),X∈Rns.t.gu(X)≤0u=1,2,…,mhv(X)=0v=1,2,…,p转变后模型:minfk(X)X∈Rns.t.fi(X)≤fi0i=1,2,,…,k-1,k+1,…qgu(X)≤0u=1,2,…,mhv(X)=0v=1,2,…,pX1*X2*f1(X)的等值线f2(X)的等值线x1x20g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=0g4(X)=0f20minf1(X)s.t.f2(X)≤f20gu(X
5、)≤0u=4X*2．统一目标法统一目标函数法的实质就是将原各分目标函数f1(X)，f2(X),……，fn(X)通过一定的方法，统一到一个新构成的总的统一目标函数F(X)=｛f1(X),f2(X),……fn(X)｝中，把原来的多目标优化问题转化成具有统一目标函数的单目标优化问题，然后再用前述的单目标函数优化方法求解。（1）线性加权和法（线性组合法）（2）极大极小法（3）理想点法与平方和加权法（4）分目标乘除法（5）功效系数法1）线性加权组合法线性加权组合法又称加权因子法，即在将多目标函数组合成总的统一目标
6、函数的过程中，引入加权因子wi，以考虑各个分目标函数在相对重要程度方面的差异。式中：未考虑目标函数间量级和量纲上的差异评价函数:体现目标函数的重要程度f1取值范围是[10,30],f2的取值范围是[1000,3000],设计人员认为目标函数f1非常重要，则线性加权后的评价函数为：设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。第k次迭代时，f1的取值为15，f2的取值为1800，则第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用哪种优
7、化方法，优化程序会拼命的降低f2的取值，升高f1的取值这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的进一步改进：式中：fi*为各个目标进行单独优化时得到最优值反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。评价函数:例如：2）极大极小法考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小化问题采用各个目标中的最大值作为评价函数的函数值来构造它。评价函数:对
8、该式求优化解就是进行如下形式的极小化f1(X)f2(X)xfmax{f1(X),f2(X)}3）理想点法使各个目标尽可能接近各自的理想值评价函数:平方和加权法4）分目标乘除法原优化模型目标函数为评价函数：式中：（1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数ci表示:功效函数:ci=Fi（fi）0≤ci≤15）功效系数法(几何平均法)当fi取值很满意时，ci=1；当fi取值不能接受时，ci=0整体评价函数:c值要求越大越好，即c=1
