《工程数学级数》PPT课件.ppt

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1、第四章级数§1复数项级数11.复数列的极限设{an}(n=1,2,...)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e>0,相应地能找到一个正数N(e),使

2、an-a

3、N时成立,则a称为复数列{an}当n时的极限,记作此时也称复数列{an}收敛于a.2定理一复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是[证]如果,则对于任意给定的e>0,就能找到一个正数N,当n>N时,3反之,如果42.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+...+

4、an称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛,5定理二级数收敛的充要条件是级数和都收敛[证]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为和的部分和,由定理一,{sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极限存在,即级数和都收敛.6定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题.7定理三[证]891011§2幂级数121.幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式

5、称为复变函数项级数.最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)称为这级数的部分和.13存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...s(z)称为级数的和函数如果对于D内的某一点z0,极限14这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形

6、:15定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO16[证]1718192.收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.20显然a

7、中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.22例1求幂级数的收敛范围与和函数.[解]级数实际上是等比级数,部分和为23243.收敛半径的求法254.幂级数的运算和性质像实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式

8、那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.2627更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.2829Oxyab当

9、z-a

10、<

11、b-a

12、=R时级数收敛30313)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即32§3泰勒级数33设函数f(z)在区域D内解析,而

13、z-z0

14、=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz34按柯西积分公式,有其中K取正方向,且有35代入(4.3.1)得由解析函数高阶导数公式(3.6.1),上式可写成36在K内成立,即f(

15、z)可在K内用幂级数表达q与积分变量z无关,且0q<1.37K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使

16、f(z)

17、M.38因此,下面的公式在K内成立.称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则(4.3.4)在圆域

18、z-z0

19、

20、z-z0

21、