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1、选修2-1第三章空间向量与立体几何本章小结（1）复习目标：1、回顾本章知识，了解本章知识结构，各知识点之间联系2、能利用向量方法解决必修2中常见题型，比较两种方法的优劣3、归纳总结本章常见题型的解题方法和策略知识网络建构热点专题剖析一、空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．【评析】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．二、
2、空间向量与线面位置关系证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明．证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．【例2】 如图2，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.【分析】 证明线面平行问题，可以利用与平面内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法向量垂直，也可用传统方法求证．面面垂直可以利用面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证．同时，也可用两平面的法向量垂直求证．【
3、证法一】(1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如右图3.令AB＝2，PE＝a，则A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)，C(－1,1,0)．即AQ⊥PD，AQ⊥PE，∴AQ⊥面EPD，AQ⊂面AEQ，∴面AEQ⊥面DEP.【证法二】传统法．(1)在矩形ABCD中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP綊QC，∴四边形AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ.∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP.(2)∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP.∵AB
4、＝2BC，P为AB中点，∴AP＝AD.连结PQ，则ADQP为正方形，∴AQ⊥DP.∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面DEP.∵AQ⊂面AEQ，∴面AEQ⊥面DEP.三、空间向量与空间角1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每年都有．不论在选择，还是填空中均有考查，而解答题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长点．2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量法求解更能体现解题的优越性．【例3】 如图4所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥A
5、N.【解】(1)建立空间直角坐标系(如图5)．【例4】 如图6，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.(1)求证：AB⊥BC；(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1—BC—A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．【解】(1)证明：如图6，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，从而BC⊥侧面A1A
6、BB1.又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC.(2)解：由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图7所示的空间直角坐标系，【评析】 要建立空间直角坐标系，先要有三条互相垂直且交于一点的直线．四、空间向量与空间距离空间距离在高考中考查较多的是两点距和点面距．两点距主要利用向量的模即两点间的距离公式求解．点面距利用平面的法向量代入公式求解．有了向量，距离的求法也都公式化了．【例5】 在长方体OABC—O1A1B1C1中，
7、OA
8、＝2，
9、AB
10、＝3，
11、AA1
12、＝2，E是BC的中点．(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值．(2)作O1D⊥A
13、C于D，求点O1到点D的距离．【解】(1)以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向，如图8建立空间直角坐标系．∵
14、OA
15、＝2，
16、AB
17、＝3.
18、AA1
19、＝2，E是BC的中点．∴A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，五、利用空间解决探索存在性问题存在性问题要在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定
