空间向量应用4 在立体几何证明中的应用.ppt

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1、空间向量应用4在立体几何证明中的应用前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知b⊥α，a不在α内，如果a⊥b，则a∥α。2、如果a⊥α，a⊥β，则α∥β。3、如果a∥b，a⊥α，则b⊥α。（课本P22.6）4、如果a⊥α，b⊥

2、β，a⊥b，则α⊥β。一、用空间向量处理“平行”问题一、用空间向量处理“平行”问题↑→↑↑GAEDCBFHMN例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF.求证：HG∥平面CBE.MH∥AB,NG∥ABMH∥NGAH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPH∥CB,PG∥BE平面HPG∥平面CBEHG∥平面CBEGAEDCBFHozy证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.x设正方形边长为1,AH=FG=a,则H(0,1-

3、a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量为(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBERDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.M是中点，N是中点MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，连结QP1，作NN1⊥QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四

4、边形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC内，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1平行四边形A1BCD1A1B∥D1C平行四边形DBB1D1B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1

5、DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1，则向量设平面BDA1的法向量为则有x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量为同理可得平面CB1D1的法向量为则显然有即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？DCB

6、AD1C1B1A1FGHE例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四边形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为求得平面BDGH的法向量为显然有故平面AEH∥平面BDGF二、用空间向量处理“垂直”问题二、用空间向量处理“垂直”问题↑FEXYZ证明:分别以为坐标向量建立空间直

7、角坐标系例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防设a=2，则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0{x=0y=-2z令z

8、=1得,n=（0，-2，1）显然有mn=0，即，mn面AEF面ACF证明：如图，建立空间直