《13.4-课题学习-最短路径问题》课件1.ppt

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1、看图思考为什么大家都喜欢走捷径呢?绿地里本没有路,走的人多了……同学们,前面我们研究过一些关于“两点的所有线段中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题。课题学习最短路径问题相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个

2、问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?BAl这是一个实际问题,你打算首先做什么?将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.B··Al(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C

3、在l的什么位置时,AC与CB的和最小?BAlC如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.点A,B在直线

4、l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·B′C探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′C证明:如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知,BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′证明:在△A

5、B′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即AC+BC最短.若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.探索新知B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么?探索新知追问2回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?B·lA·B′CC′运用新知练习 如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后

6、将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.ABCPQ山河岸大桥强化训练已知:M村和N村在河的同侧,现在要在河岸l上修建一个水电站,使得水电站到M、N两村的距离之和最短,请在图中画出水电站的位置。归纳小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问

7、题中起什么作用?教科书复习题13第15题.布置作业

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