《13.4-课题学习-最短路径问题》课件1.ppt

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1、看图思考为什么大家都喜欢走捷径呢？绿地里本没有路，走的人多了……同学们，前面我们研究过一些关于“两点的所有线段中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。课题学习最短路径问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个

2、问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C

3、在l的什么位置时，AC与CB的和最小？BAlC如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．点A，B在直线

4、l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△A

5、B′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′运用新知练习　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后

6、将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥强化训练已知：M村和N村在河的同侧，现在要在河岸l上修建一个水电站，使得水电站到M、N两村的距离之和最短，请在图中画出水电站的位置。归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问

7、题中起什么作用？教科书复习题13第15题．布置作业