正弦定理和余弦定理详细讲解.doc

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1、高考风向　1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领　1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，sin

2、C＝等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解[难点正本　疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大

3、角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA

4、和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，，，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，【变式2】在中，已知，，，求、.【答案】，根据正弦定理，∴.【变式3】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2．在，求：和，．思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：由正弦定理得：，∴，（方法一）∵，∴或，当时，，（舍去）

5、；当时，，∴．（方法二）∵，，∴，∴即为锐角，∴，∴．总结升华：1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.类型二：余弦定理的应用：例3．已知中，、、，求中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：∵三边中最大，∴其所对角最大，根据余弦定理：，∵，∴故中的最大角是.总结升华：1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意

6、公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知中,,,求角.【答案】根据余弦定理：，∵，∴【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．【答案】设，，，根据余弦定理得：，∵，∴；同理可得；∴【变式3】在中，若，求角.【答案】∵，∴∵，∴类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在中，已知，，，求及.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.解析：⑴由余弦定理得：===∴⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵，∴（法二：正弦定理）∵又∵，∴＜，即＜＜∴总结升华：

7、画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在中，已知,,.求和.【答案】由余弦定理得：，∴由正弦定理得：，因为为钝角，则为锐角，∴.∴.【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和【答案】根据余弦定理可得：∵，∴；∴由正弦定理得：.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．akmB.akmC.akmD．

8、2akm解析　利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2