资源描述：
《《复变函数与积分变换》第一章-哈工大包革军版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、复变函数与积分变换及应用背景（莫里斯·克莱恩）(1908-1992)《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.的概念,从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数复变函数理论可以应用于计
2、算某些复杂的实函数的积分.(1)代数方程在实数范围内无解.（阿达马）说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.函数理论证明了应用复变(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等.(傅里叶变换）(7)复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在
3、许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域．频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(8)变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(9)第1章复数与复变函数§1.1复数运算及几何表示§1.2复平面上的点集§1.3复变函数主要内容本章首先引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的极
4、限连续性.1.1复数运算及几何表示1复数概念及四则运算2复数的几何表示3共轭复数4乘除、乘方与开方5复球面与无穷远点1.1.1.复数概念及四则运算由于解代数方程的需要,人们引进了复数.例如，简单的代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，引入等式由该等式所定义的数称为当复数的虚部为零、实部不为零(即x≠0,y=0)时，复数x+iy等于x+i0为实数x;数x+iy(或x+yi)的,并记做称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中x和y是任意两个实数.把这里的x和y分别称为复3+0i=3是实数,4+5i
5、,-3i都是虚数,而-3i是纯虚数.例如：Imaginary;Real;虚虚实实?而虚部不为零(即y≠0)的复数称为虚数.在虚数中,实部为零(即x=0)的称为纯虚数.显然,z=x+iy是x-yi的共轭复数,即共轭复数复数x-iy称为复数x+yi的(其中x,y均为实数),记做：比如（1）2+3i是2-3i的共轭复数（2）-5i是5i的共轭复数（3）8是8的共轭复数（从复数角度）复数的四则运算注意复数不能比较大小.设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为
6、z1=z2.复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差(2)复数的积(3)复数的商求与例1.1解:求……例1.2解:计算例1.3解:2.结合律3.分配律复数运算的性质1.交换律给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它对应.这时把XOY平面平面称为复平面.有时简称为z平面.或用拉丁字母С表示(complexnumber,复数）1.1.2复数的几何表示建立起
7、了平面上全部点与全体复数间一一对应关系，因此可以用XOY平面上的点表示复数z.1.复平面显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.有时用C表示全体复数或复平面.复数z也可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(如图).2.平面向量这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用表示复数z=x+yi时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.把向量的
8、长度r称为复数z的或称为z的绝对值,记做
9、z
10、.如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.对每个,都有无穷多个辐角,因为用q0表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.辐角：有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时,
11、z
12、=0.满足的复数z的称为主辐角(或称辐角的主值),记做argz,则的辐角,这时上
